Integrales

Introducción
La integración y la diferenciación están íntimamente relacionadas. La naturaleza de esta relación es una de las ideas más importantes en matemáticas, y su descubrimiento (hecho por Leibniz y Newton de manera independiente, y mejorado por Cauchy y Riemann posteriormente.) sigue siendo uno de los avances más importantes de los tiempos modernos.
El cálculo integral surgió de lanecesidad de resolver el problema de la obtención de áreas de figuras planas. Para ello se aproximaba exhaustivamente la figura cuya área se deseaba calcular mediante polígonos de áreas conocidas y apareció el concepto de integral. Con esta idea apareció el concepto de Integral Definida.

Integración
La integración es un concepto fundamental de las matemáticas avanzadas, especialmente en los camposdel cálculo y del análisis matemático. Básicamente, una integral es una suma de infinitos sumandos, infinitamente pequeños.
El cálculo integral, encuadrado en el cálculo infinitesimal, es una rama de las matemáticas en el proceso de integración o anti derivación, es muy común en la ingeniería y en la matemática en general y se utiliza principalmente para el cálculo de áreas y volúmenes deregiones y sólidos de revolución.
Fue usado por primera vez por científicos como Arquímedes, René Descartes, Isaac Newton e Isaac Barrow. Los trabajos de este último y los aportes de Newton generaron el teorema fundamental del cálculo integral, que propone que la derivación y la integración son procesos inversos.

Principales objetivos del cálculo integral
Sus principales objetivos a estudiar son:* Área de una región plana

* Cambio de variable

* Integral indefinida

* Integral definida

* Integrales impropias

* Integrales trigonométricas, logarítmicas y exponenciales

* Métodos de integración

* Teorema fundamental del cálculo

* Volumen de un sólido de revolución

Historia
Integración antes del cálculo
La integración se puede trazar en elpasado hasta el antiguo Egipto, circa 1800 a. C., con el papiro de Moscú, donde se demuestra que ya se conocía una fórmula para calcular el volumen de un tronco piramidal. La primera técnica sistemática documentada capaz de determinar integrales es el método de exhausción de Eudoxo (circa 370 a. C.), que trataba de encontrar áreas y volúmenes a base de partirlos en un número infinito de formaspara las cuales se conocieran el área o el volumen. Este método fue desarrollado y usado más adelante por Arquímedes, que lo empleó para calcular áreas de parábolas y una aproximación al área del círculo. Métodos similares fueron desarrollados de forma independiente en China alrededor del siglo III por Liu Hui, que los usó para encontrar el área del círculo. Más tarde, Zu Chongzhi usó este métodopara encontrar el volumen de una esfera. En el Siddhanta Shiromani, un libro de astronomía del siglo XII del matemático indio Bhaskara II, se encuentran algunas ideas de cálculo integral.
Hasta el siglo XVI no empezaron a aparecer adelantos significativos sobre el método de exhausción. En esta época, por un lado, con el trabajo de Cavalieri con su método de los indivisibles y, por otro lado, con lostrabajos de Fermat, se empezó a desarrollar los fundamentos del cálculo moderno. A comienzos del siglo XVII, se produjeron nuevos adelantos con las aportaciones de Barrow y Torricelli, que presentaron los primeros indicios de una conexión entre la integración y la derivación.

Newton y Leibniz
Los principales adelantos en integración vinieron en el siglo XVII con el descubrimiento del teoremafundamental del cálculo, realizado de manera independiente por Newton y Leibniz. El teorema demuestra una conexión entre la integración y la derivación. Esta conexión, combinada con la facilidad, comparativamente hablando, del cálculo de derivadas, se puede usar para calcular integrales. En particular, el teorema fundamental del cálculo permite resolver una clase más amplia de problemas. También...