Inteligencia

APLICACIONES DE FUNCIONES VECTORIALES

Las funciones vectoriales son aquellas cuyo dominio es un conjunto de números reales tales que su contradominio es un conjunto de vectores.

x= f (t) x=g (t) x=h (t)

A continuación mencionaremos las aplicaciones de las funciones vectoriales, estas se aplican en:

* Geometría
* Física
* Ingeniería

Las aplicaciones goemétricas incluyen la longitud de arco,vectores tangentes, normales a una curva y curvatura.

En las aplicaciones de física e ingeniería se emplean los vectores para estudiar el movimiento de la partícula a lo largo de una curva, al cual se le denomina movimiento curvilíneo.

DEFINICION DE FUNCION VECTORIAL:

Sean f, g y h, funciones reales de la variable real t. Entonces se define la funcion vectorial R mediante:

R(t)= f (t) i + g(t) j + h (t) k

donde t es un número real del dominio común de f, g y h. En el plano, se define una funcion vectorial R mediante:

R(t)= f (t) i + g (t) j

Donde t pertecene al dominio común de f y g.

Por ejemplo:

R(t)= f (t) i + g (t) j

R(t)= (4-t2)i + (t2+4t) j

x = 4 – t 2 y = t 2 + 4 t

1

La ecuación vectorial de una curva proporcionada a una dirección a la curva en cada punto. Esto si sepiensa que la curva esta descrita por una partícula, se puede considerar la dirección positiva a lo largo de la curva como la dirección en la que la partícula se mueve a medida que el parámetro t aumenta. En tal caso, t puede ser una medida de tiempo, de modo que el vector R(t) se le llama vector de posición.
Al eliminar t de las ecuaciones parámetricas se obtiene dos ecuaciones en x , y y z, sonecuaciones cartesianas de la curva C. La gráfica de la ecuación cartesiana es una superficie, y C es la intersección de dos superficies. Las ecuaciones de cuales quiera dos superficies que contienen C pueden considerarse como las ecuaciones que definen C.

DEFINICIÓN DE LÍMITE DE UNA FUNCIÓN VECTORIAL

Sea :
R(t)= f (t) i + g (t) j + h (t) k

Entonces el límite R(t) cuando tiende a a esta definidopor

lim R(t) = [ lim f (t) ]i + [lim g (t) ] j + [lim h (t) ]k
t a t a t a t a

si lim f (t) i, g (t) j, h (t) k existen
t a t a t a

Esta función se aplican a las funciones vectoriales del plano a considerar la componente K como cero(0).

Por ejemplo:

si R(t)= cos t i + 2et j + 3k
lim R(t) =[ lim cos t ]i + [lim 2et] j + [lim 3 ]k
t 0 t 0 t 0 t 0

= i+2j+k

Considere la siguiente figura a finde obtener una interpretación geométrica de la definicion de límite de una función vectorial. Donde R(t)= f (t) i + g (t) j + h (t) k, lim f(t) = a1, lim g (t) =a2, lim h (t) =a3,
t a t a t a

y L =a1 i, a2 j, a3 k. La función vectorial R define la curva C, la cual contiene los puntos Q=f (t) , g (t) , h (t) y p=(a1 , a2 , a3 ). Las representaciones de los vectores R y L, son respectivamente vectorOQ y vector OP, confirme t se aproxima a a R(t) tiende a L, de modo que el punto Q se aproxima al punto P a lo largo de C.

DEFINICIÓN DE CONTINUIDAD DE UNA FUNCIÓN VECTORIAL
La función vectorial R es continua al número a si y sólo si se satisfacen las tres condiciones siguientes:
I.- R(a)existe
II.- lim R(t) existe;
t a
III.- lim R(t) =R(a) ;
t a

De esta definición, una definición vectorial escontinua en el número a si y solo si sus componentes reales son continuas en a.

Por ejemplo:
determine los números en los que la siguiente función es continua:
R(t)= sen t i+ ln t j + t 2 – 1 k
t -1

Solución:
Puesto que sen t está definido para todos los números reales, ln t está definida sólo cuando t>0, y y(t 2 – 1 )/(t – 1 ) está definida en todo número real distinto de 1, el dominio de R es{t | t >0 y t ≠ 1}. Si a es cualquier número del dominio de R entonces:
R(a)= sen a i+ ln a j +( a+1) k
R(t)= sen t i + ln t j + t 2 – 1 k
t -1
t a t a t a

R(a)= sen a i+ ln a j +( a+1) k

Así lim R(t) = R(a), y R es continua en a.

Por lo tanto, la función vectorial R es continua en cada número de su dominio.

VECTOR TANGENTE UNITARIO
Ahora se asociarán a cada punto de una curva de dos...