Investigacion Comercial

ESTADÍSTICA E INTRODUCCIÓN A LA ECONOMETRÍA Grupo 5. ADE. Examen parcial temas 6 y 7 Soluciones 1. (6p) Considere los siguientes modelos que relacionan los gastos en ropa de un individuo con su edad y el tamaño de ciudad donde vive ropa = 33.5 d 0.25edad 0.02ciudad; R2 = 0.021 (1)

1 4 edad2; R2 = 1.015 (2) ropa = 15 + edad d 3 45 donde ropa es el porcentaje del gasto en ropa sobre el gastototal en tanto por ciento, edad es la edad en años, edad2 es el cuadrado de edad y ciudad es la población de la ciudad en miles de habitantes. Los estadísticos básicos de la muestra son edad = 41.2, ciudad = 156.25, 2 2 2 ropa = 20.075, Sedad = 500, Sciudad = 150000, Sropa = 200; Sropa;edad = 125, Sropa;ciudad = 3000: (a) (1.5p) Interprete el coe…ciente de edad en los modelos (1) y (2). Según elmodelo (2), para individuos de 20 años, ¿cómo variarían, en media, los gastos en ropa si la edad aumentara en 5 años? (b) (0.5p) ¿Hay algún error en las estimaciones de los modelos (1) y (2)? Explique por qué. (c) (1p) Calcule a partir de qué edad la pendiente del modelo (2) cambia de signo. Calcule el máximo valor predicho para el porcentaje de gasto en ropa en el modelo (2). (d) (1.5p) Estime elmodelo de regresión simple ropa =
0

+

1 edad

+u

que se obtiene omitiendo la variable relevante ciudad en el modelo (1). La covarianza muestral entre edad y ciudad es 0. Si el verdadero valor de la pendiente es 0.2 ¿Está sesgado el estimador MCO de la pendiente? Razone la respuesta. (e) (1.5p) Si la varianza del término de error en el modelo del apartado (d) depende de edad explique porqué el modelo del apartado (d) viola uno de los supuestos de Gauss-Markov. ¿Implica esta violación que el estimador MCO del modelo está sesgado? ¿Implica que no es óptimo? Solución: a) En el modelo (1), si mantenemos …jo el tamaño de la ciudad donde vive el individuo cada año adicional de la edad, en media, disminuye el porcentaje del gasto en ropa sobre 2 4 el gasto total en 0.25 puntosporcentuales. La pendiente del modelo (2) es 3 45 edad, entonces los individuos de cero años en un año van a gastar en ropa 4 puntos porcentuales 3 más. Para individuos de 20 años si la edad aumentara en 5 años el gasto en ropa aumentaría 4 1 1 en 15+ 3 25 45 252 15 + 4 20 45 202 = 1.67 puntos porcentuales. También se puede 3 2 resolver aproximadamente con la pendiente del modelo 4 45 20 5 = 2.22 puntospor3 centuales, pero este método es válido solo cuando la variación en la variable explicativa es pequeña. b) Como una regresión lineal estimada por MCO siempre produce el R2 entre 0 y 1 las estimaciones del R2 en los modelos (1) y (2) son erróneas. 1

4 c) La pendiente cambia de signo cuando es cero. Entonces utilizando la ecuación 3 2 edad = 0 concluimos que la pendiente del modelo (2) cambia designo a partir de 30 45 años. Para valores menores que 30 la pendiente es positiva y para valores mayores que 30 es negativa, por eso 30 años es la edad que corresponde al máximo valor predicho para el porcentaje de gasto en ropa. Sustituyendo 30 en el modelo (1) obtenemos el 1 valor máximo 15 + 4 30 45 302 = 35%. 3 S 125 d) e1 = ropa;edad = 500 = 0.25, e0 = ropa 2 Sedad Entonces el modeloestimado es

e1 edad = 20.075 0.25edad

( 0.25) 41.2 = 30.375.

Vemos que la omisíón de ciudad no cambia el coe…ciente estimado de edad: De modo que edad tiene el mismo efecto sobre ropa si …jamos o no ciudad: Sea e1 el estimador MCO de 1 en el modelo del apartado (d) y b0 ; b1 y b2 son los coe…cientes del modelo (1) estimados por MCO. Entonces, e1 = b1 + b2 Sciudad;edad 2 Sedad

ropa = 30.375 dS Como en nuestro caso e1 = b1 = 0.25 concluimos que b2 ciudad;edad = 0. Sabemos que 2 Sedad b2 = 0.02 6= 0, por eso Sciudad;edad = 0. S E e1 = 1 + 2 ciudad;edad = 1 entonces el estimador MCO de la pendiente es inses2 Sedad

e) Como la varianza del término de error depende de edad los errores son heteroscedásticos, es decir el supuesto RLM.5 de homoscedasticidad no cumple. Este supuesto no...