Investigacion de operaciones

3 Programación no lineal.
3.1 Introducción
3.1.1 Planteamiento de problemas de Programación no lineal y optimización
Una suposición importante de programación lineal es que todas sus funciones (Función objetivo y funciones de restricción) son lineales. Aunque, en esencia, esta suposición se cumple para muchos problemas prácticos, es frecuente que no sea así. De hecho, muchos economistas hanencontrado que cierto grado de no linealidad es la regla, y no la excepción, en los problemas de planeación económica, por lo cual, muchas veces es necesario manejar problemas de programación no lineal.
    De una manera general, el problema de programación no lineal consiste en encontrar  para
maximizar  ,
sujeta a
 
  en donde  y las  son funciones dadas de n variables de decisión. 
No se dispone de un algoritmo que resuelva todos los problemas específicos que se ajustan a este formato.  Sin embargo, se han hecho grandes logros en lo que se refiere a algunos casos especiales, haciendo algunas suposiciones sobre las funciones, y la investigación sigue muy activa.
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3.1.2 Máximos y mínimos y Puntos de inflexión
Desde la década de los 60 la programaciónlineal (PL) ha sido aplicada en diversas áreas de la vida como por ejemplo: sistemas militares, agrícolas, económicos, de transporte y de salud. La PL ofrece bases importantes en el desarrollo de métodos de solución de otras técnicas de la Investigación de operaciones, como lo son la programación entera, la estocástica y la no lineal [Taha 1991]. La PL juega un papel muy importante en el estudio delos problemas continuos de optimización considerados como la frontera de los problemas de optimización combinatoria, ya que en los continuos se tienen las características necesarias para que sean considerados dentro del tipo combinatorio [Papadimitriou and Steiglitz, 1982]: Un problema de optimización combinatoria siempre se le involucra un conjunto de instancias, donde cada una de ellas cuenta conun conjunto finito de posibles soluciones (característica imprescindible de los problemas continuos).
Por otra parte la teoría de optimización clásica se usa para la obtención de los máximos y mínimos de funciones no lineales restringidas y no restringidas, en los que se hace uso del cálculo diferencial.
MAXIMOS Y MINIMOS
Mínimo (fuerte): Un punto extremo X0 de una función f(X0) define unmínimo de la función si f(X0+h) > f(X0), donde X0 es cualquier punto de la función y h en valor absoluto es suficientemente pequeña.
Máximo (fuerte): Un punto extremo X0 de una función f(X0) define un máximo de la función si f(X0+h) < f(X0), donde X0 es cualquier punto de la función y h en valor absoluto es suficientemente pequeña.
Una función puede contener varios máximos y mínimos,identificados por los puntos extremos de la función. En la figura 1 se puede observar esto, los puntos x1, x3 y x6 son máximos, de la figura notamos que f(x6) es el mayor que f(x1) y f(x3), a este punto se le conoce como máximo global de la función y a los restantes como máximos locales. Lo mismo se puede ver para los mínimos, en los que también existe un mínimo global f(x2) y un mínimo local f(x4). Como esde lógico, solo puede existir un solo global y posiblemente varios locales.

Fig. 1. Representación de máximos y mínimos en una función con una sola variable [Taha 1991].
Una condición necesaria pero no suficiente para que X0 sea un punto extremo, es que para una función con mas de una variable, el gradiente Ñ f(X0) = 0. Si es cierto esto entonces X0 será conocido como punto estacionario.
Unacondición suficiente para que un punto estacionario sea extremo es que la matriz Hessiana H obtenida en X0 del sistema de ecuaciones sea positiva cuando X0 es un punto extremo de mínimo. Y negativa cuando X0 es un punto extremo de máximo.
Un máximo débil implica un numero finito de máximos alternativos (ver figura 1) y se define como X0 es un máximo débil, si f(X0 + h) <= f(X0). Un...