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EL CIRCUITO RLC EN PARALELO SIN FUENTES

El primer objetivo es calcular la respuesta natural de un circuito sencillo al conectar R,L y C en paralelo; basta decir entonces que la comprensión del comportamiento natural del circuito RLC en paralelo es de importancia fundamental en los estudios futuros sobre redes de comunicación y diseño de filtros.
Cuando un indicador físico seconecta en paralelo con un capacitor , y el inductor tiene asociada a él una resistencia óhmica no nula , puede probarse que la red resultante tendrá un circuito equivalente como el que se muestra en la figura.

Las pérdidas de energía en el inductor físico se toman en cuenta por la presencia del resistor ideal, cuya resistencia R depende de la resistencia óhmica del inductor (pero no es igual aella ).
En el siguiente análisis se supondrá que la corriente del inductor y el voltaje del capacito podrán tener valores iniciales diferentes de cero. Con respecto al circuito de la figura se podrá escribir la ecuación de nodos:

Obsérvese que el signo menos es una consecuencia de la dirección asignada a i. Ahora debe resolverse(1) sujeta a las condiciones iniciales.

Cuandoambos lados de la ecuación (1) se derivan con respecto al tiempo, el resultado de la ecuación diferencial lineal homogénea de segundo orden:

cuya solución v(t) es la respuesta natural buscada. La forma de la ecuación (4) sugiere que podría resultar adecuada ya que deben sumarse tres términos y su suma debe ser cero. Una función cuyas derivadas tienen la misma forma es obviamente una buenaelección. Con toda esperanza de éxito se supone, entonces, que
que se mantendrá tan general como sea posible, permitiendo que A y s sean números complejos si fuera necesario. Al sustituir (5) en (4) se obtiene
para satisfacer esta ecuación en cualquier tiempo, por lo menos uno de los tres factores debe se cero. Si cualquiera de los dos primeros factores se iguala a cero entonces v(t) =0. Esta unasolución trivial de la ecuación diferencial que no puede satisfacer la condiciones iniciales dadas. Por lo tanto, hay que igualar a cero el factor que queda
Esta ecuación se conoce entre los matemáticos como ecuación auxiliar o característica. Si puede satisfacer, entonces la solución supuesta es correcta. Como la ecuación (6) es cuadratica, hay dos soluciones, identificadas por S1 y S2:[pic] y [pic]

respectivamente , A1 y A2 son dos constantes arbitrarias que deben elegirse de acuerdo a las condiciones iniciales.
Pero esta respuesta no nos dice mucho, en consecuencia será necesario realizar algunos cambios o sustituciones a fin de aclarar conceptos.
Por ejemplo, S1 y S2 deben tener como unidad alguna cantidad adimensional “por segundo”.
Sepodría mostrar que las dimensiones de S1 y S2, 1/2RC y √(1/LC) deben ser todas e(cos), llamándose a las unidades de este tipo “frecuencia”.
El termino 1/ √LC se le llamará “frecuencia resonante” (ω(ο)) y al termino 1/2RC “frecuencia nepenaría” o “coeficiente de amortiguamiento exponencial” (α).
En resumen, la respuesta natural del circuito RLC en paralelo es:[pic]

donde:
S1=-[pic] [pic]
S2=-[pic]
[pic]
[pic]

y A1 y A2 deben hallarse aplicando las condiciones iniciales dadas.

Ahora, la naturaleza de las respuestas dependes de α y ω(ο), habrán tres casos para estos valores lo cual nos conduce a el análisis que para esta ocasión, ellos son:

Circuito RLC en paralelo Sobreamortiguado

Las características deeste circuito están dadas por.
ó [pic]ó

y por otro lado, [pic] y [pic] serán reales y de acuerdo a las siguientes desigualdades se ve que tanto [pic] como [pic] son números reales negativos.
[pic]
[pic]

De acuerdo a esto, las respuesta V(t) puede expresarse como la suma de dos términos exponenciales decrecientes, que tienden a cero...