la educacion

Capítulo 6
Diferenciación e Integración Numérica
Diferenciación Numérica
El cálculo de la derivada de una función puede ser un proceso "difícil" ya sea por lo complicado de la definición analítica de la función o por que esta se conoce unicamente en un número discreto de puntos. (Este es el caso si la función representa el resultado de algún experimento). En esta lección estudiaremostécnicas para aproximar las derivadas de una función y veremos el análisis de error de dichas formulas.
Formulas para la primera derivada: La definición de la derivada de una función f(x) en el punto "x" esta dada en terminos del limite:

De esta definición podemos decir que si "h" es pequeño entonces:

(Note el simbolo de aproximación). Esto nos da inmediatamente la primera formula numéricapara aproximar la derivada:

Antes de ver algunos ejemplos donde usamos esta formula, tratemos de constestar la pregunta de ¿cuán buena es esta aproximación de la derivada? Por el Teorema de Taylor sabemos que:

donde esta entre x y x+h. Si despejamos ahora en esta formula por f'(x) y usamos la definición de tenemos que:

Esta formula nos dice que aproxima a f'(x) con un error proporcional a"h", i.e., O(h).
.
Ejemplo 2: Comparamos las dos formulas obtenidas hasta ahora para aproximar f'(x) con el ejemplo de para . Los resultados los presentamos en forma tabulada para distintos valores de h:
h




0.1
13.5795
4.57948
9.85264
0.852636
0.05
11.0266
2.02656
9.21079
0.210788
0.025
9.95452
0.954519
9.05255
0.0525492
0.0125
9.46337
0.4633749.01313
0.0131281
Este ejemplo ilustra lo superior de la formula . Note que cada ves que h se divide entre dos, el error en la formula se divide por dos (aproximadamente) mientras que en la formula se divide (aproximadamente) por cuatro (¿por qué?).
En forma similar se pueden obtener formulas de orden mayor utilizando expansiones de Taylor que envuelvan x2h, x3h, etc. Por ejemplo laexpansión
.
Formulas para la segunda derivada: El proceso de arriba se puede usar para obtener formulas para las derivadas de orden mayor de uno de una función f(x). Usamos este proceso para obtener una formula para la segunda derivada. Usando el Teorema de Taylor, podemos escribir las expansiones:

Sumando estas dos expansiones y despejando para f''(x) obtenemos:

donde

y esta entre[x-h,x+h]. Tenemos aqui una fomula de orden dos para f"(x).
Ejemplo 3: Examinamos la formla de arriba en el caso y para aproximar f ''(1)=72. Tenemos los resultados:
h


0.1
74.5368
2.53682
0.05
72.6311
0.63105
0.025
72.1576
0.157566
0.0125
72.0394
0.0393791
Nuevamente se puede ver el factor de cuatro en el error, caracteristico de la convergencia de orden dos.
Enforma similar se pueden obtener formulas de orden mayor utilizando expansiones de Taylor que envuelvan x2h, x3h, etc. Por ejemplo la expansión

nos da una formula de orden cuatro para f"(x).
Diferenciación usando polinomios de interpolación: Suponga que son puntos distintos y sea pn(x) el polinomio que interpola a f(x) en estos puntos. Entonces aproximamos f '(x) por:

Suponga que . Sepuede demostrar que

Aunque no discutiremos en más detalles este método para aproximar derivadas, si mencionamos que las dos formulas que discutimos para aproximar f '(x) se pueden obtener usando polinomios de interpolación de grados uno y dos respectivamente.
Ejercicios:
1. Utilice las formulas para aproximar la primera y segunda derivada discutidas en esta lección para aproximar lascorrespondientes derivadas de la función en x=1 y para h=0.1, 0.01.
2. Usando el Teorema de Taylor verifique la formula

3. Para la formula repita un proceso similar al del Ejemplo 1 donde "h" se disminuye hasta que el error en la formula empieza a aumentar.
Métodos de integración numérica - Método directo (explícito) de Euler

La primera posibilidad para la aproximación es el desarrollo en...