La Educacion

UNIVERSIDAD DE EL SALVADOR
FACULTAD MULTIDISCIPLINARIA ORIENTAL
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS NATURALES Y
MATEMÁTICA
SECCION DE MATEMÁTICA

MATERIAL DE APOYO DE MATEMÁTICA II
CICLO 02 - 2013

UNIDAD II: LA DERIVADA

UNIDAD II

LA DERIVADA

Objetivo: Desarrollar la idea de recta tangente a una curva, definir la pendiente de una
curva, definir una derivada y darle una interpretacióngeométrica. Calcular derivadas
por medio de uso de la definición de límite.
1.1 LA DERIVADA
Uno de los problemas principales de que se ocupa el cálculo es el de encontrar la
pendiente de la recta tangente a un punto sobre una curva.
Rectas tangentes a un círculo
Tangente es una recta que toca al círculo en un solo punto exacto.
Sin embargo, esta idea de una tangente no es muy útil en otraclase de
curvas.
Las rectas L1 y L2 intersecan la curva en
un solo punto, Q, exactamente. Aunque L2 no se
consideraría como la tangente en este punto, L1 si lo es.
La recta es tangente a la curva en
el punto P.
M
M

La recta L3 es tangente al punto M, aunque L3 interseca la curva en
otro punto.

Por lo anterior puede verse que es necesario abandonar la idea de que una tangente essimplemente una línea que interseca una curva en solo un punto. Para obtener una
definición conveniente de la recta tangente, se utiliza el concepto de límite y la noción
geométrica de recta secante.
Una recta secante es una línea que interseca una curva
en dos o más puntos.
Deseamos definir la recta tangente en el punto P.
Si Q es un punto diferente sobre la curva, la línea PQ
es una líneasecante. Si Q se mueve a lo largo de la
curva y se acerca a P por la derecha PQ1, PQ2, PQ3,
etc. Son líneas secantes y se acercan a la misma
posición límite. Esta posición límite común de las
líneas secantes se define como la recta tangente a la
curva en P.
Es decir, entre más se acerca Q a P más se aproxima la recta secante PQ a nuestra idea
intuitiva de la recta tangente en P.
En particular,entre más se acerca Q a P, más se acerca la pendiente de la recta secante a
la pendiente de la recta tangente.
Informalmente, decimos que
La pendiente de la recta tangente en P es el límite de la pendiente de la recta secante
PQ cuando se acerca cada vez más a P.

2

y=f(x)

f(x)

Q (x0+h, f(x0+h))

f(x0+h)

f(x0+h)-f(x0)

(x0,f (x0))
P

f(x0)

h

x0

x0+h

Entonces,la pendiente de la recta secante PQ es
(
)
( )
(
)
( )
(
)
Ahora cuando Q se mueve acercándose a P, sus primeras coordenadas se mueven cada
vez más entre sí, es decir, h se vuelve cada vez más pequeña. Por consiguiente:
Pendiente de la recta tangente en P=Limite de la pendiente de la recta secante PQ
cuando Q se acerca cada vez más a P;
=Limite de

(

)

(

)

(

(

)cuando h se acerca cada vez más a 0.

)

=
DEFINICION RECTA TANGENTE
La recta tangente a la gráfica de y=f(x) en el punto (x0,f(x0)) es la recta que pasa por este
punto con pendiente
(

)

(

)

siempre que este limite exista. Si este límite no existe, entonces la
tangente es vertical o no hay tangente en el punto.
La pendiente de la recta tangente en un punto se llama también lapendiente de la curva
en ese punto.
Como la pendiente de una recta indica su dirección, la pendiente de la recta tangente en
un punto indica la dirección de la curva en ese punto.
Ejemplo 1: Encuentre la pendiente de la recta tangente a la gráfica de
cuando x=-1. Encuentre la ecuación de la recta tangente.
Solución
Use la definición anterior con ( )
y x0=-1.
La pendiente de la rectatangente es:
(
)
( )
[(

)

] [(

)

]

3

(

)

( ))
La pendiente de la recta tangente en (
La ecuación de la recta tangente puede encontrarse
ecuación de una recta.
(
(
(

(
) es -2.
con la forma punto-pendiente de la
)
))

Ejemplo 2: Encuentre la ecuación de la recta tangente a la gráfica de ( )
en
el punto en que x=c.
Solución
La recta tangente en un punto...