La pendiente de la recta

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LA PENDIENTE DE LA RECTA

Cualquier línea recta no vertical tiene asociado in número que especifica su dirección, llamado su pendiente. Este número se define como sigue (la fig. 1.9 ilustra la definición). Elegimos dos puntos distintos de la recta, P1(x1,y1) y P2(x2,y2). Entonces la pendiente se denomina por m y se define como el cociente
m = [pic] .
si invertimos el orden de la resta tantoen el numerador como en el denominador, entonces cambia el signo de ambos, de modo que m no varía:
m = [pic] = m = [pic] .
esto muestra que la pendiente puede calcularse como la diferencia de las coordenadas y dividida por la diferencia de las coordenadas x: en cualquier orden, siempre que ambas diferencias se formen en el mismo orden. En la fig. 1.9, donde P2 está situado ala derecha de p1 yla recta de eleva hacia la derecha, es claro que la pendiente que se ha definido en (1) es simplemente el cociente entre la altura y la base en el triángulo rectángulo inclinado. Es necesario saber que el valor de m depende solamente de la recta y es el mismo independientemente de donde resulten estar situados los puntos p1 y p2 de la recta. Esto es fácil de ver visualizando el efecto de mover p1 yp2 a posiciones diferentes sobre la recta; este cambio da lugar a un triangulo rectángulo semejante y por tanto deja el cociente de (1) inalterado.
Si elegimos la posición de p2 de modo que x2 – x1 = 1, es decir, si situamos p2 ina unidad a la derecha de p1, entonces m = y2 – y1. Esto nos dice que la pendiente es simplemente el cambio en y cuando un punto (x,y) se mueve a lo largo de la recta detal manera que x aumente en 1 unidad. Este cambio en y puede ser positivo, negativo o nulo, dependiendo de la dirección de la recta. Tenemos,por tanto, las siguientes correlaciones importantes entre el signo de m y las direcciones indicadas:
m > 0, la recta se eleva hacia la derecha
m < 0, la línea desciende hacia la derecha
m = 0, recta horizontal

Además, el valor absoluto de m es unamedida de lo empinado de la recta( fig. 1.10 ) . es a partir de (1) por que una recta vertical no tiene pendiente, ya que en este caso los dos puntos tienen la misma coordenada x y el denominador de (1) es 0 y sabemos que la división por cero no esta definida.
Si la recta que se esta consiserando corta el eje x, entonces el angulo α de la parte positiva del eje x a la recta, medido en el sentidocontrario de las agujas del reloj, se llama la inclinación o a veces el angulode inclinación de la recta. Los estudiantes que han estudiado trigonometría verán a partir de la fig. 1.9 que la émdiente es la tangente de este angulo, m = tg α.

ECUACIONES DE LA RECTA
Una recta vertical esta caracterizada por el hecho de que todos sus puntos tienen la misma coordenada x. si la recta cirta al eje x enel punto (a,0), entonces un punto (x,y) esta en la recta si y solo si x = a
Como se ilustra en la fig. 1.11. la afirmación de que (2) es la ecuación de la recta significa precisamente esto: in punto (x,y) esta en la recta si y solo si se verifica la condición (2).
Consideremos a continuación ina recta no vertical, y consideremosla dada en el sentifo de que conocemos un punto (x0,y0) de ella y supendiente m (fig. 1.12) si (x,y) es un punto en el plano que no esra en la recta vertical que pasa por (x0,y0), entonces es fácil ver que este punto esta en la recta dada si y solo si la recta determinada por (x0,y0) y (x,y) tienen la misma pendiente que la recta dada:

m =

Esta seria la ecuación de vuestra recta dalbo por el pequeño problema de que las coordenadas de l punto (x0,y0) queesta ciertamente en la recta no verifican la ecuación ( reducen el primer miembro ala expresión sin sentido 0/0. Este problema se elimina fácilmente escrobienfo la ecuación (3) en la forma
y – y0 = m(x – x0)
Sin embargo, preferimos generalmente la forma (3) , por que su relación directa con la idea geométrica olustrada en la fig. 1. 12 la hace fácil de recordar. Cualquiera de las dos...
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