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ANTECEDENTES HISTÓRICOS DE LA GEOMETRÍA PLANA O EUCLIDIANA

La geometría plana es una parte de la geometría que trata de aquellos elementos cuyos puntos están contenidos en un plano. La geometría plana está considerada parte de la geometría euclidiana, pues ésta estudia los elementos geométricos a partir de dos dimensiones. Una parte importante de la geometría plana son las construcciones conregla y compás. La geometría euclidiana[1] es aquella que estudia las propiedades del plano y el espacio tridimensional. En ocasiones los matemáticos usan el término para englobar geometrías de dimensiones superiores con propiedades similares. Sin embargo, con frecuencia, geometría euclidiana es sinónimo de geometría plana.
1. Desde un punto de vista historiográfico, la geometría euclidiana esaquella geometría que postuló Euclides, en su libro "Los elementos", dejando al margen las aportaciones que se hicieron posteriormente –desde Arquímedes hasta Steiner.
2. Según la contraposición entre método sintético y método algebraico-analítico, la geometría euclidiana sería, precisamente, el estudio por métodos sintéticos de los invariantes de un espacio vectorial real de dimensión 3 dotado deun producto escalar muy concreto (el frecuentemente denominado producto escalar habitual).
3. Según el Programa de Erlangen, la geometría euclidiana sería el estudio de los invariantes de las isometrías en un espacio euclidiano (espacio vectorial real de dimensión finita, dotado de un producto escalar).La presentación tradicional de la geometría euclidiana se hace en un formato axiomático. Unsistema de axiomas es aquel que, a partir de un cierto número de postulados que se presumen verdaderos (conocidos como axiomas) y a través de operaciones lógicas, genera nuevos postulados cuyo valor de verdad es también positivo. Euclides planteó cinco postulados en su sistema:
  1. Dados dos puntos se puede trazar una y sólo una recta que los une.
  2. Cualquier segmento puede prolongarse deforma continua en cualquier sentido. 3. Se puede trazar una circunferencia con centro en cualquier punto y de cualquier radio.
4. Todos los ángulos rectos son iguales. Si una recta, al cortar a otras dos, forma ángulos internos menores a un ángulo recto, esas dos rectas prolongadas indefinidamente se cortan del lado en el que están los ángulos menores que dos rectos. Este último postulado, que esconocido como el postulado de las paralelas, fue reformulado como:5. Por un punto exterior a una recta, se puede trazar una única paralela a la recta dada. Este postulado parece menos obvio que los otros cuatro, y muchos geómetras, incluido el propio Euclides, han intentado deducirlo de los anteriores. Cuando intentaron reducirlo al absurdo negándolo, surgieron dos nuevas geometrías: la elíptica,también llamada geometría de Riemann o riemanniana (dada una recta y un punto exterior a ella, no existe ninguna recta que pase por el punto y sea paralela a la recta dada) y la hiperbólica o de Lobachevsky (existen varias rectas paralelas que pasen por un punto exterior a una dada). Euclides asumió que todos sus postulados o axiomas eran auto-evidentes y por tanto hechos que no requeríandemostración. Sin embargo, el quinto postulado resultó que si bien es compatible con los otro cuatro, es en cierto modo independiente. Es decir, tanto el quinto postulado como la negación del quinto postulado, son compatibles con los otros cuatro postulados.

GEOMETRÍA EGIPCIA
Los antiguos egipcios conocían la forma de aproximarse al área de un círculo de la siguiente manera:
Área del círculo = [(Diámetro) x 8/9 ]2
El problema nº 50 del papiro de Ahmes utiliza este método para obtener la superficie de un círculo de acuerdo con la norma de que el área es igual al cuadrado de 8 / 9 del diámetro del círculo. Esto supone que π es de 4 × (8 / 9) ² (3.160493 ...), con un error de poco más de 0,63 por ciento.
Este valor es ligeramente menos preciso que los cálculos de los babilonios (25 / 8 =...