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-Vector propio y valor propio
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Fig. 1. En esta transformación de la Mona Lisa, la imagen se ha deformado de tal forma que su eje vertical no ha cambiado. (nota: se han recortado las esquinas en la imagen de la derecha). El vector azul, representado por la flecha azul que va desde el pecho hasta el hombro, ha cambiado dedirección, mientras que el rojo, representado por la flecha roja, no ha cambiado. El vector rojo es entonces un vector propio de la transformación, mientras que el azul no lo es. Dado que el vector rojo no ha cambiado de longitud, su valor propio es 1. Todos los vectores de esta misma dirección son vectores propios, con el mismo valor propio. Forman el espacio propio de este valor propio.
Enálgebra lineal, los vectores propios, autovectores o eigenvectores de un operador lineal son los vectores no nulos que, cuando son transformados por el operador, dan lugar a un múltiplo escalar de sí mismos, con lo que no cambian su dirección. Este escalar recibe el nombre valor propio, autovalor, valor característico o eigenvalor. A menudo, una transformación queda completamente determinada por susvectores propios y valores propios. Un espacio propio, autoespacio, eigenespacio o subespacio fundamental asociado al valor propio es el conjunto de vectores propios con un valor propio común.
La palabra alemana eigen, que se traduce en español como propio, se usó por primera vez en este contexto por David Hilbert en 1904 (aunque Helmholtz la usó previamente con un significado parecido). Eigen seha traducido también como inherente, característico o el prefijo auto-, donde se aprecia el énfasis en la importancia de los valores propios para definir la naturaleza única de una determinada transformación lineal. Las denominaciones vector y valor característicos también se utilizan habitualmente.
Índice
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1 Definiciones
2 Ejemplos
3 Casos de interés especial
4 Ecuación del valorpropio o autovalor
5 Teorema espectral
6 Vectores propios y valores propios de matrices
6.1 Cálculo de valores propios y vectores propios de matrices
6.1.1 Cálculo simbólico
6.1.2 Cálculo numérico
6.2 Propiedades
6.2.1 Multiplicidad algebraica
6.2.2 Teoremas de descomposición para matrices generales
6.2.3 Otras propiedades de los valores propios
6.3 Vector propio conjugado
6.4Problema de valor propio generalizado
6.5 Entradas de un anillo
7 Espacios de dimensión infinita
8 Aplicaciones
9 Referencias
9.1 Notas
10 Véase también
11 Enlaces externos
Definiciones[editar · editar código]
Las transformaciones lineales del espacio —como la rotación, la reflexión, el ensanchamiento, o cualquier combinación de las anteriores; en esta lista podrían incluirse otrastransformaciones— pueden interpretarse mediante el efecto que producen en los vectores. Los vectores pueden visualizarse como flechas de una cierta longitud apuntando en una dirección y sentido determinados.
Los vectores propios de las transformaciones lineales son vectores que, o no se ven afectados por la transformación o se ven multiplicados por un escalar, y por tanto no varían su dirección.[1]
Elvalor propio de un vector propio es el factor de escala por el que ha sido multiplicado.
Un espacio propio es un espacio formado por todos los vectores propios del mismo valor propio, además del vector nulo, que no es un vector propio.
La multiplicidad geométrica de un valor propio es la dimensión del espacio propio asociado.
El espectro de una transformación en espacios vectoriales finitos es elconjunto de todos sus valores propios.
Por ejemplo, un vector propio de una rotación en tres dimensiones es un vector situado en el eje de rotación sobre el cual se realiza la rotación. El valor propio correspondiente es 1 y el espacio propio es el eje de giro. Como es un espacio de una dimensión, su multiplicidad geométrica es uno. Es el único valor propio del espectro (de esta rotación) que...