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MATEMÁTICAS FINANCIERAS Y EVALUACIÓN DE PROYECTOS DEPOSITOS O PAGOS GRADIENTES

GEOMETRICOS Es un gradiente geométrico aquel flujo de caja que tiene un comportamiento creciente cuota a cuota, en particular, este crecimiento es en una tasa de interés que llamaremos g; eso implica que el primer pago, al final del mes, K se verá incrementado para el siguiente periodo , periodo 2, en g por lo queel pago resultante en el segundo periodo seria K (1+g) y para un periodo después en K (1 + g )(1 + g ) = K (1 + g ) 2 y así sucesivamente hasta el periodo enésimo en el que tendremos K (1 + g ) n −1 Este tipo de situaciones puede verse comúnmente en ahorros programados o en préstamos en los que los ahorros o los pagos se desarrollan de forma gradiente geométrico; en tal sentido nos interesa laequivalencia entre una suma presente, en el caso del préstamo, o una suma futura, suma ahorrada, y los pagos gradientes. Para tal análisis veamos dos situaciones la primera consiste en que el gradiente, tasa de crecimiento de los pagos, sea diferente que el interés que actúa en el préstamo o el ahorro.

i≠g F = K (1 + g ) n −1 + K (1 + g ) n − 2 (1 + i ) + K (1 + g ) n −3 (1 + i ) 2 + ... + K (1 + g)1 (1 + i ) n − 2 + K (1 + i ) n −1
F (1 + i ) K (1 + i ) n = K (1 + g ) n −2 (1 + i) + K (1 + g ) n −3 (1 + i ) 2 + ... + K (1 + g )1 (1 + i ) n − 2 + K (1 + i ) n −1 + (1 + g ) (1 + g )

F (1 + i ) K (1 + i ) n − F = − K (1 + g ) n −1 + (1 + g ) (1 + g )

F + Fi − F − Fg K (1 + i ) n − K (1 + g ) n = (1 + g ) (1 + g )
Fi − Fg = K (1 + i ) n − (1 + g ) n  (1 + i ) n − (1 + g ) n  F = K (i − g )   F P= (1 + i ) n

[

]

 (1 + i ) n − (1 + g ) n  P = K  n  (i − g )(1 + i )   1 + g n    1 −  1+ i   P = K    i−g      

Elaborado por: Jairo Andres Arias Beltrán

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Una segunda situación es donde el interés es igual al gradiente, para este caso tenemos.

i=g
P= K K (1 + g ) K (1 + g ) 2 K (1 + g) 3 K (1 + g ) n −1 + + + + ... + + (1 + i ) (1 + i ) 2 (1 + i ) 3 (1 + i ) 4 (1 + i ) n

Sea i = g entonces K K (1 + i ) K (1 + i ) 2 K (1 + i ) 3 K (1 + i ) n −1 + + + + ... + + (1 + i ) (1 + i ) 2 (1 + i ) 3 (1 + i ) 4 (1 + i ) n K K K K K P= + + + + ... + (1 + i ) (1 + i ) (1 + i ) (1 + i ) (1 + i ) Kn P= (1 + i ) P= Dado que F = P (1 + i ) n entonces F= Kn (1 + i ) n (1 + i )

F = nK (1 +i ) n −1

ARITMETICOS
Al igual que en el caso del gradiente geométrico, el gradiente aritmético es un flujo de caja que periodo a periodo presenta un comportamiento creciente, la diferencia consiste en que este crecimiento es en una cantidad constante y no en una tasa; esta cantidad constante la llamaremos g, así el primer pago C se vera incrementado para un segundo periodo en esta cantidad gy tendremos como resultante un pago total de C+g, y así sucesivamente hasta un periodo enésimo en donde el pago será de C+g(n-1). Al igual que en casos anteriores nos interesa la equivalencia de dichos pagos con gradiente aritmético y su equivalente en presente o futuro. De tal forma analizamos dicha situación mediante la siguiente ecuación.
C C + g C + 2 g C + 3g C + (n − 1) g + + + + ... + 2 34 (1 + i ) (1 + i ) (1 + i ) (1 + i ) (1 + i ) n C C C C C g 2g 3g (n − 1) g P= + + + + ... + + + + + ... + 2 3 4 n 2 3 4 (1 + i ) (1 + i ) (1 + i ) (1 + i ) (1 + i ) (1 + i ) (1 + i ) (1 + i ) (1 + i ) n P=
 (1 + i ) n − 1 g 2g 3g (n − 1) g P = C + + + + ... + n  2 3 4 (1 + i ) (1 + i) (1 + i ) n  i (1 + i )  (1 + i )

Elaborado por: Jairo Andres Arias Beltrán

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Sea
P' =

g 2g 3g (n − 1) g = P' + + + ... + 2 3 4 n (1 + i ) (1 + i ) (1 + i ) (1 + i )

g 2g 3g (n − 1) g Ecuación 1 + + + ... + 2 3 4 (1 + i) (1 + i ) (1 + i ) (1 + i ) n g 2g 3g ( n − 1) g Ecuación 2 P ' (1 + i ) = + + + ... + (1 + i) 1 (1 + i ) 2 (1 + i ) 3 (1 + i) n −1

Ecuación 2- Ecuación 1
P ' (1 + i ) − P ' = g (1 + i) 1 g iP ' = (1 + i) 1 g iP '...