Logica

Proposiciones

Formalmente, se define una proposición como un enunciado declarativo que puede ser verdadero o falso, pero no ambos a la vez. Las proposiciones se representan mediante variables proposicionales simbolizadas mediante letras. Con la combinación de variables proposicionales y conjunciones se obtienen fórmulas sentenciales o sentencias. Estas pueden ser:

Tautología: es lasentencia que es verdadera.
Contradicción: es la sentencia que es falsa.
Indeterminación: es la sentencia que ni es verdadera ni falsa.
Proposiciones y operaciones lógicas

Una proposición o enunciado es una oración que puede ser falsa o verdadera pero no ambas a la vez, La proposición es un elemento fundamental de la lógica matemática. A continuación se tienen algunos ejemplos de proposicionesválidas y no válidas, y se explica el porqué algunos enunciados no son proposiciones; Las proposiciones se indican por medio de una letra minúscula, dos puntos y la proposición propiamente dicha.
Ejemplo:

p: La tierra es plana.
q: −17 + 38 = 21
r: x > y-9
s: El Morelia será campeón en la presente temporada de Fut-Bol.
t: Hola ¿como estas?
w: Lava el coche por favor.

Los incisos p y q sabemosque pueden tomar un valor de falso o verdadero, por lo tanto son proposiciones validas. El inciso r también es una proposición valida, aunque el valor de falso o verdadero depende del valor asignado a las variables x y y en determinado momento. La proposición del inciso s también esta perfectamente expresada aunque para decir si es falsa o verdadera se tendría que esperar a que terminara latemporada de fut-boll. Sin embargo los enunciados t y w no son válidos, ya que no pueden tomar un valor de falso o verdadero, uno de ellos es un saludo y el otro es una orden.
Conectivos lógicos y proposiciones compuestas

Existen conectores u operadores lógicos que permiten formar proposiciones compuestas (formadas por varias proposiciones).
Los operadores o conectores básicos son:

Operador and(y)

Se utiliza para conectar dos proposiciones que se deben cumplir para que se pueda obtener un resultado verdadero. Su símbolo es: ∧
Ejemplo:
Sea el siguiente enunciado
“El coche enciende cuando tiene gasolina en el tanque y tiene corriente la batería”

Sean:

p: El coche enciende.
q: Tiene gasolina el tanque.
r: Tiene corriente la batería.

De tal manera que la representación delenunciado anterior usando simbología lógica es como sigue:
q ∧ r

Su tabla de verdad es como sigue:

q r q ∧ r
V V V
V F F
F V F
F F F

En la tabla anterior el valor de q= v significa que el tanque tiene gasolina, r= v significa que la batería tiene corriente y p = q ∧ r=v significa que el coche puede encender. Se puede notar que si q o r son falso implica que el auto no tiene gasolinay que por lo tanto no puede encender.

Operador Or (o)

Con este operador se obtiene un resultado verdadero cuando alguna de las proposiciones es verdadera. Se indica por medio de los siguientes símbolos: { ∨,+,∪ }. Se conoce como la suma lógica.

Ejemplo:
Sea el siguiente enunciado:

“Una persona puede entrar al cine si compra su boleto u obtiene un pase”

p: Entra al cine.
q: Comprasu boleto.
r: Obtiene un pase.

q r q ∨ r
V V V
V F V
F V V
F F F

Operador Not (no)

Su función es negar la proposición. Esto significa que sí alguna proposición es verdadera y se le aplica el operador not se obtendrá su complemento o negación (falso). Este operador se indica por medio de los siguientes símbolos: {~, ¬,- }.
Ejemplo:
p ¬p
V F
F V

Además de los operadores básicos(and, or y not) existe el operador xor, cuyo funcionamiento es semejante al operador or con la diferencia en que su resultado es verdadero solamente si una de las proposiciones es cierta, cuando ambas son verdaderas el resultado es falso. En este momento ya se pueden representar con notación lógica enunciados más complejos.

Ejemplo:
p: Hoy es domingo.
q: Tengo que estudiar teorías del...