mate

UNIVERSIDAD TÉCNICA FEDERICO SANTA MARÍA
CAMPUS SANTIAGO

Problemas resueltos (Integrales de Linea) - Mate 4

Problema 1.
Si C = C1 + C2 , calcular la integral
y 2 dx + x dy,
C

donde lacurva C se recorre en sentido positivo y:
1. C1 es el segmento rectilíneo que une el punto (0, 2) con el punto (−5, −3) .
2. C2 es el arco de la parábola x = 4 − y 2 desde el punto (−5, −3) al punto(0, 2).
solución:
Parametrización de C1 : (x, y ) = (1 − t)(0, 2) + t(−5, −3) ,
x=
y=

−5t
2 − 5t

dx =
dy =

0 ≤ t ≤ 1 . Luego queda
−5dt
−5dt

Luego la integral sobre C1 queda:
1
2y dx + x dy =
0

C1

1
2

[(2 − 5t) (−5) − 5t(−5)] dt = −5

0

(4 − 25t + 25t2 ) dt =

5
6

Parametrización de C2 :
x=
y=

4 − y2
y

dx =
dy =

−2ydy
dy

La integralsobre C2 queda:
2
2

y dx + x dy =
−3

C2

Por lo tanto:

C

2
2

2

[y (−2y ) + (4 − y )] dy =

y 2 dx + x dy =

C1

y 2 dx + x dy +

−3

[−2y 3 − y 2 + 4] dy = −

C21

y 2 dx + x dy =

y4 y3
−
+ 4y
2
3

5 245
125
+
=
6
6
6

2

=
−3

245
6

Problema 2.
Calcular

ex − x2 y dx + 3x2 y dy,
C

donde C es la curva determinada por y = x2, x = y 2 .
solución:

1
x

2

√

2

e − x y dx + 3x y dy =
C

x

6xy + x2 dy dx
0 x2

√
x

1
2

=

2

3xy + x y
0

1

3x2 + x5/2 − 3x5 − x4 dx

dx =
0

x2=3

y=

√

x

1
y = x2

1

2

x3
x7/2
x6
x5
+
−3 −
3
7/2
6
5

1

=
0

41
70

Problema 3.
Calcular F · dα, donde
C

F (x, y ) = 2 cos 2x − e−x (cos xy + y sen xy) ı − xe−x sen xy 
solución:
−
→
−
→
Observar que F es un campo gradiente y ϕ(x, y ) = e−x cos xy + sen 2x + K es un potencial de F .
B

F · dα = ϕ(B ) − ϕ(A)
A

= ϕ(1, 1) − ϕ(0, 0)
=e−1 cos(1) + sen(2) − 1 · 1 − 0
= e−1 cos(1) + sen(2) − 1

3

Problema 4.
Calcular

(0,1,1)

sen y cos x dx + cos y sen x dy + dz.
(1,0,1)

Solución
−
→
Observar que el campo F (x, y,...