Mate

Tema: Coordenadas cil´ ındricas y esf´ricas e

Contenidos: Definici´n y propiedades o

As´ como en la geometr´ del plano se introdujeron las coordenadas polares con el objetivo ı ıa de simplificarlas ecuaciones de algunas curvas. En el caso de la geometr´ del espacio se ıa introducen dos sistemas nuevos de coordenadas: las coordenadas cil´ ındricas y las coordenadas esf´ricas. e 1. Coordenadascil´ ındricas.

Sea P un punto del espacio. Las coordenadas cil´ ındricas de P son una terna ordenada (r, θ, z), donde r y theta son las coordenadas polares de la proyecci´n de P en el plano o XY yz corresponde a la coordenada rectangular z del punto P , es decir, representa la distancia dirigida de P al plano XY . Para pasar de coordenadas cil´ ındricas a rectangulares se usan las siguientesrelaciones: x = r cos θ y = r sin θ z=z

Para pasar de coordenadas rectangulares a coordenadas cil´ ındricas se usan las siguientes relaciones: r 2 = x2 + y 2 tan θ = x y z=z

Nota: Lascoordenadas cil´ ındricas se usan de preferencia para describir superficies que tienen una simetr´ en torno a una recta. En tal caso se toma esta recta como el eje Z. ıa Por ejemplo, el cilindro x2 + y 2 = a2 ,tiene ecuaci´n en coordenadas cil´ o ındricas a r = a. Por esta raz´n, estas coordenadas reciben el nombre de cil´ o ındricas.

Instituto de Matem´tica y F´sica a ı

1

Universidad de TalcaTema: Coordenadas cil´ ındricas y esf´ricas e

Contenidos: Definici´n y propiedades o

2. Coordenadas esf´ricas e

Sea P un punto del espacio. Las coordenadas esf´ricas de P son una ternaordenada e (ρ, θ, φ), donde ρ es la distancia del origen al punto P , theta es el mismo ´ngulo que a en las coordenadas cil´ ındricas y φ es el ´ngulo que forma el semieje positivo Z con el a segmento OP .Observar que ρ 0y0 φ π. Para pasar de coordenadas cil´ ındricas a rectangulares se usan las siguientes relaciones: x = ρ sin φ cos θ y = ρ sin φ sin θ z = ρ cos φ

Para pasar de coordenadas...