Mate

MOISES VILLENA MUÑOZ

Cáp. 4 Temas Adicionales de la derivada

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4.1 4.2 4.3 4.4 4.5 4.6 4.7 4.8 MONOTONÍA MÁXIMOS Y MÍNIMOS CONCAVIDAD ELABORACIÓN DE GRÁFICAS
DERIVADAS TEOREMA DE TEOREMA DE TEOREMA DE
SOFISTICADAS TEOREMA DEL VALOR MEDIO PARA

ROLLE CAUCHY L´HOPITAL

OBJETIVOS:
• • • • • • Determinar intervalos de Crecimiento y de Decrecimiento Determinar extremos Determinarintervalos de Concavidad. Graficar funciones sofisticadas. Utilizar el teorema del valor medio para derivadas. Calcular indeterminaciones empleando derivadas.

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4.1 MONOTONÍA
La derivada nos permite determinar los intervalos de crecimiento y de decrecimiento de una función. 4.1.2 Teorema de Monotonía

Sea ƒ una funcióncontinua en un intervalo [a, b] y diferenciable en todo punto interior de [a, b] . Entonces: 1. Si f ´(x) > 0, ∀x ∈ [a, b] entonces ƒ es creciente en [a, b] 2.Si f ´(x) < 0, ∀x ∈ [a, b] entonces ƒ es decreciente en [a, b] .
DEMOSTRACIÓN.
Se demostrará el primer inciso del teorema. Suponga que f ´(x) > 0 entonces lím
x → x0

f ( x) − f ( x 0 ) f ( x ) − f ( x0 ) > 0 ; es decir >0. x − x0 x − x0Suponga ahora que x 0 < x , entonces f ( x 0 ) < f ( x) , lo cual indica que f es creciente. Si x < x0 entonces f ( x) < f ( x0 ) lo cual también indica que f es creciente Para el caso f ´(x) < 0 , la demostración es análoga.

Ejemplo 1
2 Analice la monotonía de f ( x ) = 2 x − 4 x + 5

SOLUCIÓN: De acuerdo al teorema anterior para determinar los intervalos de crecimiento y los intervalos dedecrecimiento analizamos la primera derivada de f . Es decir, a f ´(x) = 4 x − 4 El asunto es determinar en que intervalo para x esta derivada tiene valores positivos y en qué intervalo tiene valores negativos, para lo cual factorizamos f ´(x ) = 4( x − 1) ; se observa que:

x

x 1

f ´(x) Negativa (-) Positiva(+)

f decrece crece

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Ejemplo 2
Analice la monotonía de f ( x) = x 3 − 3 x 2 + 3
SOLUCIÓN: Analizando la primera derivada f ´( x) = 3x 2 − 6 x En la forma factorizada f ´( x) = 3 x ( x − 2 ) se observa que:

x

x x0 , dividiendo por x − x 0 tenemos ≤0 x − x0 Ahora obteniendo límite lím +
x → x0

f ( x) − f ( x 0 ) ≤ lím + 0 resulta f ´(x 0 + ) ≤ 0 . x − x0 x → x0
x → x0

Para x < x 0 ,tenemos, obteniendo límite lím −

f ( x) − f ( x 0 ) ≥ lím − 0 resulta f ´(x 0 − ) ≥ 0 x − x0 x → x0

Suponga que f es derivable en x 0 , entonces f ´(x 0 ) = 0 ; es decir x 0 es un punto crítico estacionario. Suponga que f no es derivable en x 0 , entonces f ´(x 0 ) no existe; es decir x 0 es un punto crítico singular. La demostración sería análoga para el caso de que f ( x 0 ) sea un valormínimo.

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Por lo tanto, los valores extremos de una función se producirán siempre en los puntos críticos. Bastará con analizar los puntos críticos.

Además, el teorema anterior nos hace concluir que: • Si “ x0 ” no es un punto crítico entonces no será extremo. • Necesariamente los extremos se producen en los puntos críticos. •Es suficiente que f ( x0 ) sea un extremo para que “ x0 ” sea un punto crítico. • Que “ x0 ” sea un punto crítico es una condición necesaria pero no es suficiente. Es decir, no todo punto crítico es extremo. En las gráficas anteriores, también se presentaban puntos críticos que no eran extremos. Esto nos hace pensar que deben existir criterios para clasificar los puntos críticos, sin embargos enproblemas sencillos no son necesarios, un simple análisis basta.

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Ejemplo 1
2 Determinar los extremos para f ( x ) = 2 x − 4 x + 5 en [0,3]

SOLUCIÓN: De acuerdo a lo enunciado, debemos analizar solamente los puntos críticos. 1. Puntos críticos de Frontera: x 0 = 0 y x 0 = 3

2. Puntos críticos Estacionarios:...