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Capítulo 3: APLICACIONES DE LAS DERIVADAS

Dentro de las aplicaciones de las derivadas quizás una de las más importantes es la de conseguir los valores máximos y mínimos de una función. También la derivada es una herramienta muy útil para graficar funciones. Estos serán dos de los temas que trataremos en este capítulo.
3.1 Extremos absolutos y puntos críticos Un problema demucho interés es buscar la mejor alternativa frente a muchas posibilidades de decisión. En términos matemáticos, muchas veces este planteamiento se traduce en buscar el máximo o el mínimo de una función y donde se alcanza este máximo o mínimo. Cuando la función es cuadrática se pueden determinar estos valores buscando el vértice de la gráfica de este tipo de función. Para funciones más generales,la derivada puede ayudar a resolver este problema. Recordemos primero la definición de valor máximo y mínimo.
Los máximos o mínimos absolutos de una función son llamados extremos absolutos. La palabra absoluto suele ser omitida.
Si () cf es el valor máximo de f en I entonces se dice que f alcanza su valor máximo en x= c. En la figura, el punto ()) ,( cfc es el puntomás alto de la gráfica de la función en I=),( ab .
Definición.- Sea f una función definida en un intervalo I y c un punto en I.  () cf es el valor máximo absoluto de f en I si () () xfcf  para todo x en I.  () cf es el valor mínimo absoluto de f en I si () () xfcf  para todo x en I.
3.1 Extremos absolutos y puntos críticos 2
Observaciones:
2) Hay funciones tales queen un intervalo tienen un máximo pero no tienen mínimo, otras no alcanzan ninguno de los dos extremos o alcanzan ambos. Abajo se muestran algunas posibilidades.
El siguiente teorema establece un resultado para la última situación: si la función es continua y el intervalo es cerrado entonces se puede asegurar la existencia de ambos extremos.
Teorema.- Sea f una función continua en unintervalo cerrado [a,b] entonces f alcanza un máximo y un mínimo absoluto en [a,b].
1) Una función puede alcanzar un valor mínimo más de una vez. Similarmente puede alcanzar más de una vez un valor máximo.
Capítulo 3: Aplicaciones de la derivada 3
EXTREMOS RELATIVOS O LOCALES

Hablaremos deextremos relativos para referirnos conjuntamente a los máximos y mínimos relativos. Una de las importancias de los extremos relativos es que nos ayudará a localizar los extremos absolutos de una función. Por ejemplo, en el caso de una función continua definida en un intervalo cerrado, si el máximo absoluto no se alcanza en un extremo del intervalo entonces ese máximo ocurre en un extremo relativo. Elproblema que trataremos, en lo que sigue, es centrar la búsqueda de los puntos x donde se alcanzan los extremos relativos. Los extremos relativos son fáciles de localizar a través de la derivada. De una manera gráfica podemos decir que los máximos relativos son la cimas de la gráfica y los mínimos relativos son los valles.
Observación.- El Teorema da una garantía para que existan ambosextremos. Sin embargo algunas de las condiciones pudiesen no satisfacerse y alcanzarse ambos.
En la figura observamos la gráfica de una función f tal que () ef es el valor máximo absoluto de f. El valor () cf no es el máximo absoluto, sin embargo podemos apreciar un intervalo abierto que contiene a c tal que () cf es el valor máximo absoluto de la función en ese intervalo. Este valor es un valorcaracterístico de la función y nos referiremos a él como un valor máximo relativo o local de la función. De manera similar hablaremos de un valor mínimo relativo )( df si este valor es el mínimo que tiene )( xf para x cercanos a d. A continuación damos la definición formal.
Definición.-  Una función f tiene un máximo relativo (o local) en c si existe un intervalo abierto I en el dominio de...