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Teorema del residuo
Teorema que establece que si un polinomio de x, f(x), se divide entre (x - a), donde a es cualquier número real o complejo, entonces el residuo es f(a).
Por ejemplo, si f(x) = x2 + x - 2 se divide entre (x-2), el residuo es f(2) = 22 + (2) - 2 = 4. Este resultado puede volverse obvio si cambiamos el polinomio a una de las siguientes formas equivalentes:
f(x) = (x-2)(x+3) +4
Como se muestra, la expresión anterior nos puede llevar fácilmente a esperar que 4 sea el residuo cuando f(x) se divide entre (x-2).
El teorema del residuo nos puede ayudar a encontrar los factores de un polinomio. En este ejemplo, f(1) = 12 + (1) - 2 = 0. Por lo tanto, significa que no existe residuo, es decir, (x-1) es un factor. Esto puede mostrarse fácilmente una vez que reacomodamos elpolinomio original en una de las siguientes expresiones equivalentes:
f(x) = (x-1)(x+2)
Como se muestra, (x-1) es un factor.
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Teorema del factor
En álgebra, el teorema del factor sirve para encontrar los factores de un polinomio (una expresión en la cual los términos sólo son sumados, sustraídos o multiplicados, e.g. ). Es un casoespecial del teorema del resto.
El teorema del factor establece que un polinomio  tiene un factor  si y sólo si  es una raíz de , es decir que .
Si se desea encontrar los factores de , para ello se podría tantear un primer factor, . Si el resultado de sustituir  en el polinomio es igual a 0, se sabe que hay un factor. ¿Es  un factor? Para saberlo, se sustituye  en el polinomio:

Cómo esta operación da 18 (y no0),  no es un factor de . Así que ahora se prueba con  (sustituyendo  en el polinomio):
.
Que da como resultado 0. Por tanto, , que es equivalente a , es un factor, y -1 es una raíz de .
Las otras dos raíces se pueden encontrar dividiendo  entre  para obtener un polinomio de segundo grado, que se puede resolver de la siguiente manera 
ademas el teorema del factor es muy factible para estoscasos

Propiedades de las raíces y factores de un polinomio
1Los ceros o raíces enteras de un polinomio son divisores del término independiente del polinomio.
2A cada raíz del tipo x = a le corresponde un binomio del tipo (x − a).
3 Podemos expresar un polinomio en factores al escribirlo como producto de todos los binomios del tipo (x — a), que se correspondan a las raíces, x = a, que seobtengan.
x2 − 5x + 6 = (x − 2) · (x − 3)
4La suma de los exponentes de los binomios ha de ser igual al grado del polinomio.
5Todo polinomio que no tenga término independiente admite como raíz x = 0, ó lo que es lo mismo, admite como factor x.
x2 + x = x · (x + 1)
Raíces: x = 0 y x = − 1
6Un polinomio se llama irreducible o primo cuando no puede descomponerse en factores.
P(x) = x2 + x + 1Hallar las raíces y descomponer en factores el polinomio:
Q(x) = x2 − x − 6
Los divisores del término independiente son: ±1, ±2, ±3.
Q(1) = 12 − 1 − 6 ≠ 0
Q(−1) = (−1)2 − (−1) − 6 ≠ 0
Q(2) = 22 − 2 − 6 ≠ 0
Q(−2) = (−2)2 − (−2) − 6 = 4 + 2 − 6 = 0
Q(3) = 32 − 3 − 6 = 9 − 3 − 6 = 0
Las raíces son: x = -2 y x = 3.
Q(x) = (x + 2) · (x − 3)
Raíces de un polinomio
La raíz de un polinomio es unnúmero tal que hace que el polinomio valga cero. Es decir que, cuando resolvamos un polimonio a cero, las soluciones son las raíces del polinomio.
Por ejemplo el polinomio
f(x) = x2 + x - 12 |
Cuando lo igualamos a cero y lo resolvemos tenemos:
x2 + x - 12 = 0 | Igualando a cero. |
(x + 4)(x - 3) = 0 | Factorizando. |
x = - 4 | Solución 1 |
x = 3 | Solución 2 |

Puesto que x1 = -4 y x2 = 3 son soluciones de f(x) entonces f( -4 )= 0 y f( 3 )= 0. Decimos entonces que x = - 4 y x = 3 son raíces del polinomio f(x)= x2 + x - 12

Las raíces de f(x) = x3 - 4 x2 + x + 6 son x = - 1, x = 2 y x = 3 ¿Por qué?
Algebra lineal y geometría
* Hernández Rodríguez, Eugenio; Vázquez Gallo, María Jesús; Zurro Moro, María Ángeles, (aut.)
* Pearson Addison-Wesley
* 1ª ed., 1ª...