Matematica bachillerato

L´gica, conjuntos,
o
relaciones y funciones

´
Alvaro P´rez Raposo
e
Universidad Aut´noma de San Luis Potos´
o
ı
Universidad Polit´cnica de Madrid
e

Publicaciones Electr´nicas
o
Sociedad Matem´tica Mexicana
a

A la memoria de mi madre,
Cecilia Raposo Llobet.

Pr´logo
o
Este libro es una exposici´n muy elemental de los t´picos fundamentales de
o
o
las matem´ticas queanuncia el t´
a
ıtulo: l´gica, conjuntos, relaciones y funciones.
o
Mi aportaci´n es tener un libro en espa˜ol, elemental y riguroso. Todos los
o
n
resultados enunciados tienen su demostraci´n y sigo el esquema habitual de una
o
teor´ matem´tica de axiomas, definiciones y teoremas, todos ellos entrelazados
ıa
a
por las reglas de la l´gica. La otra caracter´
o
ıstica que he buscado alescribirlo es la
brevedad. Se ha conseguido un libro con un contenido importante pero expuesto
en pocas p´ginas. A pesar de ello no carece de explicaciones o ejemplos all´ donde
a
ı
se han cre´ necesarios.
ıdo
El primer cap´
ıtulo trata de l´gica. Es una exposici´n de los principios de
o
o
la l´gica que se usan en matem´ticas para desarrollar sus teor´
o
a
ıas. Partiendo
de ladefinici´n de variable l´gica, se llega hasta el concepto de razonamiento
o
o
l´gico, que es el que permite demostrar teoremas. En este cap´
o
ıtulo todas las
demostraciones de resultados se han hecho mediante tablas. Es un m´todo que se
e
puede evitar en algunos casos, pero es m´s seguro cuando a´n no se ha expuesto
a
u
en qu´ consiste un razonamiento l´gico. Desde el punto de vista del primere
o
cap´
ıtulo, podemos pensar en un libro de l´gica (cap´
o
ıtulo 1) con un ejemplo, la
teor´ de conjuntos, desarrollado en detalle (cap´
ıa
ıtulos 2, 3 y 4).
El segundo cap´
ıtulo expone los axiomas y definiciones iniciales de la teor´
ıa
de conjuntos, adem´s del ´lgebra de las operaciones habituales de complemena
a
to, uni´n e intersecci´n. He optado por un desarrollo axiom´ticoriguroso de la
o
o
a
teor´ Sin embargo no uso el sistema completo de axiomas de Zermelo y Fraenıa.
kel, sino una simplificaci´n del mismo reducida a cinco axiomas. La reducci´n
o
o
es posible porque no distingo entre clases y conjuntos ni entro en el terreno de
los conjuntos ordinales ni de los cardinales, por lo cual la exposici´n es elemeno
tal. A partir de los axiomas y las definicionesintroducidas se van demostrando
teoremas seg´n las reglas de inferencia l´gica expuestas en el cap´
u
o
ıtulo anterior.
El tercer cap´
ıtulo trata de relaciones, que son la forma de agrupar y ordenar los elementos de un conjunto. En particular se analizan las relaciones de
equivalencia y las relaciones de orden parcial y total.
El cuarto cap´
ıtulo est´ dedicado a la idea de funci´n que,junto con la de
a
o
conjunto, es el concepto m´s fruct´
a
ıfero en matem´ticas. Este cap´
a
ıtulo describe
todo el material necesario para llegar a dos teoremas: el que caracteriza las
funciones invertibles como las biyectivas y el de descomposici´n can´nica de
o
o
una funci´n.
o
iii

iv

´
PROLOGO

Desde el punto de vista de estos tres ultimos cap´
´
ıtulos, el libro sepuede ver
como un libro de teor´ elemental de conjuntos con un cap´
ıa
ıtulo previo de l´gica.
o
Bajo cualquiera de las dos interpretaciones, se trata de un libro de texto
dirigido a alumnos de primer curso de matem´ticas, f´
a
ısica, ingenier´ o, en geıa
neral, a cualquier estudiante que desee adquirir soltura en el manejo de estos
conceptos, que son herramientas comunes en los cursos dec´lculo y ´lgebra.
a
a
No est´ pensado como un libro de autoestudio, sino como un libro para seguir
a
con la gu´ de un profesor. Cada cap´
ıa
ıtulo contiene, al final, una lista de ejercicios propuestos al lector que tienen la misi´n de analizar ejemplos concretos
o
de la teor´ revisada. Tambi´n hay algunos ejercicios en los que se ampl´ ´sta
ıa
e
ıa e
pues se propone demostrar...