Matematica basica

MATEMÁTICA
Prof. Liliana Ibáñez Hoja 1 de 37
UNIDAD I:
CONJUNTOS NUMÉRICOS
1- INTRODUCCIÓN
Hasta ahora se ha visto la teoría de conjuntos desde un punto de vista general, ahora se verán
conjuntos importantes para la matemática elemental, como son los conjuntos numéricos.
2- CUADRO ESQUEMÁTICO DE LOS CONJUNTOS NUMÉRICOS
NATURALES

0  ENTEROS

NEGATIVOS   RACIONALES

FRACCIONARIOS.  REALES

IRRACIONALES   COMPLEJOS
IMAGINARIOS 
3- OPERACIONES
Con los números se definen las operaciones: suma, resta, multiplicación, división, potenciación,
radicación y logaritmo. A partir de la suma se definen el producto y la potencia y, como "operaciones inversas",
se definen la resta, el cociente, la radicación y la logaritmación.
4- RESTRICCIONES
Cada campo numérico llevaasociada una restricción en alguna de las operaciones que en él se
admiten. Ejemplo de ello son las siguientes prohibiciones en el campo de los N:
a) La resta de a - b si a < b
b) El cociente a : b si a no es múltiplo de b.
c) La radicación, es decir, a si a no es una potencia enésima de un número natural.
d) La división por "0", a : 0 , pues no puede existir ningún número natural quemultiplicado por "0" dé "a".
Las prohibiciones para el conjunto de los enteros son:
a) El cociente a : b si a no es múltiplo de b.
b) La radicación con índice par, es decir, Öa si a no es una potencia enésima de un número entero y positivo
y con índice impar, si a no es potencia de un número entero.
c) La división por "0", a : 0 , pues no puede existir ningún número entero que multiplicado por "0" dé"a".
Las siguientes son restricciones a operaciones en el campo de los racionales:
a) La radicación con índice par:
b
a
si a y b no son potencias enésimas de números enteros positivos y con
índice impar, si a y b no son potencias de números enteros.
b) La división por "0",
0
a
, pues no puede existir ningún número racional que multiplicado por "0" dé "a".
Las restricciones en el campode los reales son:
a) La radicación con índice par de números negativos.
b) La división por "0",
0
a
, pues no puede existir ningún número real que multiplicado por "0" dé "a".
5- CARACTERÍSTICAS DE LOS NÚMEROS NATURALES
5.1- NOTACIÓN
N : sin el cero ; N0 : incluido el 0
5.2- DEFINICIÓN POR EXTENSIÓN
N = {1, 2, 3, 4,....}; N0 = {0, 1, 2, 3, 4,....}
5.3- El conjunto de los númerosnaturales es infinito
5.4- Tiene primer elemento "0" para N0 y "1" para N. No tiene último elemento.
5.5- Todo número natural tiene un sucesor que se obtiene sumándole "uno". Un número natural y su
sucesor se dicen consecutivos.
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5.6- Todo número, excepto "0" en N0 y "1" en N, tienen un antecesor, que se obtiene restándole "uno".
5.7- El conjunto N esdiscreto, pues entre dos números siempre existe un número finito de números
naturales.
5.8- Representación gráfica: recta numérica donde se fija arbitrariamente un origen y un segmento
unidad.
5.9- Orden en N: se define la relación "£" y para todo par de números naturales a y b se verifica:
a £ b o bien b £ a
Se dice que a £ b si b - a es un número positivo o es cero.
Se dan a continuaciónpropiedades de la relación a £ b. Sean los números naturales a, b y c;
entonces:
PROPIEDAD I (LEY DE TRICOTOMÍA): O bien a < b, o a = b, o b < a
PROPIEDAD II: Si a £ b y b £ c, entonces a £ c
PROPIEDAD III: Si a £ b entonces a + c £ b + c
PROPIEDAD IV: Si a £ b y c es positivo, entonces ac £ bc
PROPIEDAD V: Si a £ b y c es negativo, entonces bc £ ac
Geométricamente, si a < b el punto a sobrela recta de los naturales está a la izquierda del punto b.
Las siguientes afirmaciones son ciertas para cualesquiera números naturales a, b y c:
a) a £ a
b) Si a £ b y b £ a , entonces a = b
5.10- Operaciones posibles en N
La adición y la multiplicación son siempre posibles en N. En cambio, la sustracción a - b sólo es
posible si es a £ b para el caso de los N0 y a < b para el caso de los...