Mates

EXERCICIS POLINOMIS I FRACCIONS ALGEBRAIQUES
Suma de monomis. 1. Realitza les següents operacions: a) 2 x 2 + 3 x 2 = b) 8 x 3 + 14 x 3 = c) 6 x 9 + 4 x 9 = d) 12 x 5 + 4 x 5 = e) 11x 4 − 7 x 4 = f) 13 x 6 − 8 x 7 = 2. Realitza les següents operacions: a) 2 3 1 3 x + x = 3 2

b) x5 + 2 x5 =
2 2 c) y + 2 y +

1 2 y = 2

7 d) 3 y +

1 7 y + 2 y7 = 3 Suma de polinomis

1. Realitza lessegüents operacions: a) (3 x 3 + 5 x 2 + 1) + (8 x 3 + 4 x 2 + 5) = b) (4 x 3 + 11x 3 + 5 x 2 + 1) + (8 x 3 + 4 x 2 + 5) = c) (10 x 5 + 8 x 4 + 2 x 3 + 6 x 2 + 10 x + 9) + (7 x 5 + 7 x 4 + 11x 3 + 4 x 2 + 10 x + 1) = d) (2 x 5 + 3 x 4 + 3 x 3 + 10 x 2 + 4 x + 11) + (5 x 5 + 6 x 4 + 8 x 3 + 9 x 2 + 2 x + 7) = e) (3 x 4 + 10 x 3 + 12 x 2 + 5 x + 8) + (12 x 4 + 8 x 3 + 3 x 2 + 5 x + 4) = f) (6 x 5 + x4 − 2 x3 + 5 x 2 + 3 x − 9) + (2 x5 − 4 x 4 + 3 x3 − 10 x 2 + 6) = g) (−2 x 3 − 4 x 2 + 2 x + 1) + ( x 3 − 6 x 2 − 5 x + 2) = 2 4 2 3 6 3 2 2 2 4 h) (− x + x − 5 x − 3 x + 1) + (7 x + x + x + 5 x − 3) = 5 3 5 3
i)

2 3 ( x11 + 8 x 7 − 3 x3 + 1) + (6 x15 + x11 + x3 + x 2 + 10 x) = 5 2

Multiplicació de polinomis 1. Realitza les següents operacions: a) x 3 (x 2 + 3 x − 1) = b) 2 x 5 (2 x 3 + 5x 2 − 7 x + 3) = c) d) e) f) g) h) i) j) k) l)

(x − 4)(4 x 3 − 6 x 2 − x − 4) =
( 2 x + 1) ( 3x 4 + 8 x3 − 3x 2 + 11x − 4 ) =

(x + 7)(x − 2 x + 5x + x − 3x + 1) = ( 2 x + 5x )( x + 7 x − 3x + 4 ) = (2 x + 4 x − 3)(x − 7 x + 1) = ( x + 6 x + 1)( 2 x − 4 x − 5) =
3 5 4 3 2 2 3 2 2 2 2 2

( 2x

3

+ 5 x 2 − x + 2 )( x 7 − 3 x 5 + 4 x 2 − x + 1) =

2 x 5 (2 x 3 + 5 x 2 − 7 x + 3) =(x − 4)(4 x 3 − 6 x 2 − x − 4) =
( 2 x + 1) ( 3x 4 + 8 x3 − 3x 2 + 11x − 4 ) =

m) (x 3 + 7 )(x 5 − 2 x 4 + 5 x 3 + x 2 − 3 x + 1) = n) o) p) q)

( 2 x + 5x )( x + 7 x − 3x + 4 ) = (2 x + 4 x − 3)(x − 7 x + 1) = ( x + 6 x + 1)( 2 x − 4 x − 5) =
2 2 2 2

2

3

2

( 2x

3

+ 5 x 2 − x + 2 )( x 7 − 3 x 5 + 4 x 2 − x + 1) =

Divisió de polinomis. 1. Calcula: a) 8 x 4 : 2 x 3 = b)12 x 5 : 5 x 5 = c) d) −2 3 y :5y = 3 −7 9 2 4 a :− a = 4 5

Divideix els següents polinomis: a) b) c) d) e) f) g) h) i) 2 x 2 + 3x + 5 x x2 + 2x −1 x +1 x3 + x 2 − 7 x + 2 x−2 x 4 + 2 x3 − 5 x 2 + 3x − 1 x+2 5 x 4 − 3x3 + x 2 − 8 x + 1 x+2 −3 x 5 + 2 x 3 + 4 x 2 + 7 x −1 2 x5 − 3x 4 + x3 + 4 x 2 + 2 x − 3 x2 + x − 3 x8 − 1 x −1 5 x3 − 3x 2 + 4 x − 2 2x + 1

2. Divideix els següentspolinomis: a) b) c) d) e) f) g) h) x3 + 2 x + 1 x 2 + 3x − 2 5 x 7 − 3 x 6 + 11x5 − 2 x 4 − 6 x3 + 2 x 2 − 4 x + 7 x 2 − 3x + 4 x5 + 2 x 4 − 4 x3 + x 2 + 3 x − 3 x −3 x3 − 19 x − 30 x 2 − 2 x − 15 x3 + 3x 2 − x − 3 x2 + 2x − 3 x3 + 3x 2 − x − 3 x +1 x5 − 4 x 4 + 9 x3 − 14 x 2 + 12 x − 8 x−2 x 4 − 2 x3 − 9 x 2 + 2 x + 8 x2 + x − 2

i)

x 4 − 2 x3 − 9 x 2 + 2 x + 8 x2 −1 Divisibilitat de polinomis.Direm que el polinomi p(x) és divisible pel polinomi q(x) quan la divisió entera p ( x) q ( x) doni residu 0.

Equivalentment, direm que el polinomi p(x) és un múltiple del polinomi q(x). Equivalentment, direm que el polinomi q(x) és un divisor del polinomi q(x).

1.

Demostra que el polinomi p ( x) = x 5 − 5 x 4 − 18 x3 + 38 x 2 − 12 x + 1 és divisible pel polinomi q ( x) = x 2 − 7 x + 1 .2.

Demostra que el polinomi p ( x) = 10 x5 − 19 x 4 − 3 x 3 + 17 x 2 − 25 x + 12 és divisible pel polinomi q ( x) = 5 x 2 + 3 x − 4 .

3.

Demostra que el polinomi p ( x) = x 4 − x3 − 12 x 2 + 28 x − 16
a) b) c) d)

És divisible pel polinomi q ( x) = x 2 + 3 x − 4 . És divisible pel polinomi r ( x) = x − 4 . És divisible pel polinomi s ( x) = x 2 − 4 x + 4 . No és divisible pelpolinomi s ( x) = x + 3 .

4.

Demostra que el polinomi p ( x) = x 3 − 11x 2 + 35 x − 25
a) b) c)

És un múltiple del polinomi q ( x) = x − 5 . És un múltiple del polinomi r ( x) = x 2 − 6 x + 5 No és un múltiple del polinomi s ( x) = x 2 − 10 x + 24

Divisió de polinomis mitjançant el mètode de Ruffini. Exemple: 4 x3 − 5 x + 3 x + 2

4 -2 4

0 -8 -8

-5 16 11

3 -22 -19

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