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´ UNIVERSIDADES PUBLICAS DE LA COMUNIDAD DE MADRID ˜ PRUEBA DE ACCESO A LAS ENSENANZAS UNIVERSITARIAS OFICIALES DE GRADO Curso 2011-2012 ´ MATERIA: MATEMATICAS II ´ INSTRUCCIONES GENERALES YVALORACION El alumno contestar´ a los cuatro ejercicios de una de las dos opciones (A o B) que se le ofrecen. Nunca a deber´ contestar a unos ejercicios de una opci´n y a otros ejercicios de la otra opci´n.En cualquier a o o caso, la calificaci´n se har´ sobre lo respondido a una de las dos opciones. No se permite el uso de o a calculadoras gr´ficas. Todas las respuestas deber´n estar debidamentejustificadas. a a Calificaci´n total m´xima: 10 puntos. o a Tiempo: Hora y media. ´ OPCION A Ejercicio 1 . Calificaci´n m´xima: 3 puntos. o a Dadas las matrices  k A= 1 2k se pide: a) (1,5 puntos) Hallar el rangode A en funci´n de los valores de k. o b) (0,75 puntos) Para k = 2, hallar, si existe, la soluci´n del sistema AX = B. o c) (0,75 puntos) Para k = 1, hallar, si existe, la soluci´n del sistema AX =C. o Ejercicio 2 . Calificaci´n m´xima: 3 puntos. o a Dados los puntos P1 (1, 3, −1), P2 (a, 2, 0), P3 (1, 5, 4) y P4 (2, 0, 2), se pide: a) (1 punto) Hallar el valor de a para que los cuatro puntosest´n en el mismo plano. e b) (1 punto) Hallar los valores de a para que el tetraedro con v´rtices en P1 , P2 , P3 ,P4 tenga e volumen igual a 7. c) (1 punto) Hallar la ecuaci´n del plano cuyos puntosequidistan de P1 y de P3 . o Ejercicio 3 . Calificaci´n m´xima: 2 puntos. o a Hallar a, b, c de modo que la funci´n f (x) = x3 + ax2 + bx + c alcance en x = 1 un m´ximo relativo o a de valor 2, y tenga enx = 3 un punto de inflexi´n. o Ejercicio 4 . Calificaci´n m´xima: 2 puntos. o a Calcular razonadamente las siguientes integrales definidas: ∫ a) (1 punto)
0 π

 k k2 −1 k  , −2 2

 12 B= 6 , 8

 4 C= 3 , 3



 x X= y , z



∫ e2x cos x dx, b) (1 punto)
0

π/2

sen 2x dx . 1 + cos2 2x

´ OPCION B Ejercicio 1 . Calificaci´n m´xima: 3 puntos. o a Dadas las...