Maxima, variable compleja

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CAPÍTULO 2.

Funciones de variable compleja

Contenido

Análisis Matemático para Ingeniería

Introducción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . El cuerpo de los números complejos . . . . . . . . . . . . . Notación imaginaria . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Funciones complejas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Bolas, conjuntos abiertos y funciones acotadas28 28 30 31 34 36 38 39 40 41 43 46 47 48 49 52 54 56 57 58 59 60 62 63 64 65 69 71 75 75 77 85

Convergencia de sucesiones . . . . . . . . . . . . . . . . . Fórmula de Euler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Forma polar de un número complejo . . . . . . . . . . . . . Teorema Fundamental del Álgebra . . . . . . . . . . . . . . Raíces de la unidad . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . Límites y Continuidad de funciones complejas . . . . . . . . Derivabilidad. Condiciones de Cauchy - Riemann Conexidad por arcos

. . . . . .

Curvas en el plano complejo . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Primitivas o antiderivadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Series de potencias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .Funciones exponencial e hiperbólicas . . . . . . . . . . . . . Funciones trigonométricas

. . . . . . . . . . . . . . . . . .

Función logarítmica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Integral en el plano complejo . . . . . . . . . . . . . . . . . Teorema Fundamental del Cálculo . . . . . . . . . . . . . . Función indicatriz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . El teorema de Cauchy- Goursat . . . . . . . . . . . . . . . Fórmula Integral de Cauchy . . . . . . . . . . . . . . . . . . Series de Taylor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Otras consecuencias de la fórmula de Cauchy . . . . . . . . Series de Laurent . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Singularidades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . El Teorema del Residuo . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . Cálculo de integrales vía residuos . . . . . . . . . . . . . . . Integrales de funciones trigonométricas

. . . . . . . .

Integrales impropias sobre dominios no-acotados . . . Ejercios propuestos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Mayorga Zambrano, J.

. . . . . . .

33

El cuerpo de los números complejos

Funciones de variable compleja

2.1Introducción “Si los números complejos hubieran sido inventados hace unos 30 años y no hace 300, no hubieran recibido el apelativo de complejos. Quizá se les hubiera llamado números planares o números bidimensionales o algo similar, y no se utilizaría el calificativo sin-sentido imaginario...” 2 Los matemáticos inventaron C, el conjunto de los números complejos, para poder resolver ecuaciones queconsideraban “irreales” como x2 + 1 = 0. Por más de un siglo se miró a C con mucha suspicacia. ¿Son realmente números? Pero, de hecho, los números complejos son bastante “reales”. Por ejemplo, son útiles para “medir” ondas periódicas y en el manejo práctico de soluciones de Ecuaciones en Derivadas Parciales. Las funciones de variable compleja son usadas en Electrónica, Transferencia de Energía, enaplicaciones de las Teorías de Filtrado y de Control, etc. 2.2 El cuerpo de los números complejos Al conjunto C = R2 = {z = ( x, y) : x ∈ R ∧ y ∈ R } se le llama cuerpo de los números complejos cuando se le provéen las operaciones de suma y multiplicación conforme a la siguiente Definición 2.1. [Operaciones con complejos] Si z1 = ( a, b) y z2 = (c, d), se definen z1 + z2 = ( a + c, b + d), z1 · z2 = ( ac −bd, ad + bc).
Figura 7: En virtud de la definición, un número complejo es un número bidimensional.

2

M. Alder. An Introduction to Complex Analysis for Engineers. Massachusetts Institute of Technology, 1997

La solución no está en R, el conjunto de los números reales.

Análisis Matemático para Ingeniería

(2.1) (2.2)

Es claro que la suma de números complejos no es más que la suma...
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