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TRAZADORES CUBICOS

Diego López
Monitor
Fernando Ceballos
Profesor Análisis Numérico
Dados n+1 puntos (x0, y0), (x1, y1),..., (xn, yn) con x0, x1,..., xn numeros reales diferentes, y f alguna función de valor real definida en un intervalo [a, b], que contiene a x0, x1,..., xn, se pretende aproximar la función f por segmentos o trazas. De antemano vamos asuponer que:

La idea es aproximar la función f en cada subintervalo [xk, xk+1], k = 0, 1,..., n-1, usando un polinomio de grado menor o igual a tres, el cual supondremos de la forma:
, k = 0, 1,..., n-1

Para que los pk interpolen los puntos, se deben verificar las siguientes condiciones:
1. , k = 0, 1,..., n-1 (condición básica de interpolación)
Esta condición supone n+1 condiciones.
2. k = 0, 1,..., n-1 (condición de continuidad)
Esta condición supone n-1 ecuaciones.
3. k = 0,1,..., n-1 (condición de primera derivada)
Esta condición sugiere n-1 condiciones.
4. k = 0, 1,..., n-1 (condición de segunda derivada)
Esta condición sugiere n-1 condiciones.
5. (condiciones de frontera)
Al verificar las condiciones 1., 2., 3. y 4., se asegura que los pk tienen sus primeras y segundas derivadas en los puntos x0, x1,..., xn, en este caso se dice que los pk son trazadores cúbicos que aproximan la función f. Ahora, si se cumple la condición 5.a., el trazador cúbico se llamanatural, y si cumple la condición 5.b., el trazador cúbico se llama de frontera sujeta (no son mutuamente excluyentes).

Una forma de construir un trazador cúbico para una función f en [x1, xn] es la siguiente:

Efectuando la condición 1.
, k = 0, 1,..., n-1 y
y luego, aplicando la condición 2., para k = 0, 1,..., n-2

Si notamos hk = xk - xk+1, k = 0, 1,..., n-1, usamos que ak = f(xk), y definimos an = f(xn), entonces
, k = 0, 1,..., n-2 (1)
(ya que )

Por otra parte, [continua]

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"Metodos numericos (trazados cubicos)." BuenasTareas.com. 12, 2009. consultado el 12, 2009. http://www.buenastareas.com/ensayos/Metodos-Numericos-Trazados-Cubicos/79213.html.