Movimientos en el plano

Introducción

Nos introducimos en el atractivo mundo de la geometría. Todas las culturas han utilizado traslaciones, rotaciones y simetrías en sus manifestaciones artísticas, han jugado casi siempre con sorprendentes resultados plásticos con los movimientos en el plano. La naturaleza también nos brinda un exquisito muestrario de estos movimientos.
Por ello nosotros pretendemos que losalumnos de secundaria puedan analizar los movimientos en el plano utilizando este documento como un apoyo para facilitar la asimilación de este tema ya que contiene herramientas de gran utilidad para realizar cualquier transformación geométrica en el plano.
Por otra parte este documento propone estrategias metodológicas para tener una mejor concepción del tema con el fin de realizar cualquiermovimiento en plano y de esta manera el alumno pueda determinar las diferentes características de estos.


Objetivos




Objetivos Generales


* Analizar los diferentes movimientos en el plano cartesiano.

* Elaborar una propuesta metodológica sobre movimientos en el plano para alumnos de

Educación Media.





Objetivos Específicos


* Determinarlas diferentes características de cada movimiento.

* Proponer Estrategias Metodológicas para realizar las diferentes Transformaciones
Geométricas propuestas en este trabajo.




MOVIMIENTOS EN EL PLANO

Definición1: Una transformación geométrica es una aplicación del plano en el plano tal que a cada punto del plano le hace corresponder otro punto del mismo plano.Definicion2: Un Movimiento o isometría en el plano es una transformación que conserva las distancias. Puede ser:
* Movimiento directo

Cuando la figura original y la transformada por el movimiento se pueden hacer coincidir sin salir del plano.

* Movimiento inverso

Cuando la figura transformada y la original no pueden hacerse coincidir.

Entre los movimientos directos en el planoveremos:
* Traslación
* Rotación
Los movimientos inversos que trataremos son:
* Simetrías (Simetría Central, Simetría Axial o de Reflexion sobre una recta)

Traslaciones en el plano.

Una traslación es una isometría pues se cumple que:
d(tu(x) ,tu(x1))=d(x, x1 )

Definicion3: Una traslación es una función t:22tal que para cada punto x ϵ2 setiene tu(x)=x+u .
Teorema1:

Demostración∕∕
Sean x, x1 puntos de 2 tales que x=(a,b) y x1=(c,d)
tu(x)=x+u y tu(x1)=x1+u
d(tu(x) ,tu(x1))= d(x+u, x1+u)
= x+u- (x1+u)
= x-x1
= (a,b)-(c,d)
= a-c,b-d
= a-c2+b-d2
La compuesta de dos traslaciones de puntos u,v es otratraslación cuyo punto es la suma de los puntos u+v

= d(x , x1) ∕∕∕∕
Teorema2:

Demostración∕∕
Sean u y v puntos de 2, talque
tu(x)=x+u y tv(x)=x1+v
(tu ∘ tv)(x)= tu(tv(x))
= tu(x+v)
= (x+v)+u
= x+(v+u)
= tu+v(x) ∕∕∕∕
Definición4: Ungrupo es un conjunto G en el que está definida una operación , es decir, una función *:G×G→Gcon las propiedades siguientes.
1. Cerradura: El resultado de operar dos elementos de G es un elemento de G; en símbolos

g*h ∈ G para cualesquiera g,h ∈ G

2. Asociatividad: Para cualesquiera tres elementos de G , da lo mismo operar los dos primeros y al resultado operarlo con el tercero, queoperar el primero con el resultado de operar los dos últimos. Esto es,

(g*h)*k=g*(h*k)

3. Existencia de Elemento neutro: Existe un elemento e∈ G, talque al operarlo con cualquier otro no afecta a este ultimo .En símbolos,
e*g=g*e=g
4. Existencia de Inverso de cada elemento dado: Para cada g ∈G,existe otro elemento de G, g-1 tal que al operarlo con g da como resultado el elemento...