Numeros reales

Números reales
Los números reales son los números que se puede escribir con anotación decimal, incluyendo aquellos que necesitan una expansión decimal infinita. El conjunto de los números reales contiene todos los números enteros, positivos y negativos; todos los fracciones; y todos los números irracionales -- aquellos cuyos desarrollos en decimales nunca se repiten. Ejemplos de númerosirracionales son

√2 = .4142135623730951 . . .     π = 3.141592653589793 . . .     e = 2.718281828459045 . . .
Es muy útil representar a los números reales como puntos en la recta real, como mostrado aquí.

Observe que los números más mayores aparecen a la derecha: Si a < b entonces el punto corresponde a b estrá a la derecha del punto que corresponde a a.
Intervalos
Ciertos subconjuntos delconjunto de los números reales, llamados intervalos, se encunetra frecuentemente, por lo que tenemos una notación compacta para representarlos.

Notación de intervalo

La siguiente es una lista de varios tipos de intervalos con ejemplos.
| Intervalo | Descripción | Dibujo | Ejemplo |
| | | | |
Cerrado | [a, b] | Conjunto de números x tales que
a ≤ x ≤ b |
(incluye puntos extremos)| [0, 10] |
Abierto | (a, b) | Conjunto de números x tales que
a < x < b |
(excluye puntos extremos) | (-1, 5) |
Semiabierto | (a, b] | Conjunto de números x tales que
a < x ≤ b | | (-3, 1] |
| [a, b) | Conjunto de números x tales que
a ≤ x < b | | [-4, -1) |
Infinito | [a, +∞) | Conjunto de números x tales que
a ≤ x | | [0, +∞) |
| (a, +∞) | Conjunto denúmeros x tales que
a < x | | (-3, +∞) |
| (-∞, b] | Conjunto de números x tales que
x ≤ b | | (-∞, 0] |
| (-∞, b) | Conjunto de números x tales que
x < b | | (-∞, 8) |
| (-∞, +∞) | Conjunto de todos números reales | | (-∞, +∞) |

Los puntos a y b del intervalo cerrado [a, b] se llaman sus puntos extremos. Intervalos abiertos no tienen pntos extremos, y cada intervalosemiabierto tiene un solo punto extrem a) Representación de los números reales
Es posible establecer una correspondencia entre los números reales y los puntos de una recta (recta numérica) de la siguiente manera.
Dada una recta, se selecciona un punto arbitrario de ésta para representar el cero (0) y otro punto a la derecha del cero para representar el uno (1). Luego dividimos toda la recta en segmentosque tengan la misma longitud que el segmento de cero a uno, para así representar los números enteros, los números 1, 2, 3, 4, ... (en este orden) a la derecha del cero y los números -1, -2, -3, ... (en este orden) a la izquierda del cero.
Los restantes números reales se representan en esta recta, usando su expansión decimal tal como se muestra en el ejemplo que sigue.

o; por ejemplo (-1, 3]tiene 3 como su punto extremo.

Ejemplo:
Represente en la recta numérica los números y
Solución:
y
Usando estos resultados, podemos representar en la recta numérica y de la siguiente manera.

|

Los números naturales surgen de la necesidad de contar, de enumerar: ={1,2,3,4...} |

* Con los números naturales  se puede sumar. De hecho, con la operación suma, los naturales forman unsemigrupo conmutativo.
* Con la operación producto los naturales también tienen estructura de semigrupo conmutativo.
* El infinito de los números naturales se denomina infinito numerable. Cualquier conjunto que pueda ponerse en correspondencia biyectiva con el conjunto de los números naturales se dice que es infinito numerable. Por ejemplo, el conjunto de las potencias sucesivas de unnúmero  , es decir, el conjunto   cuando  es distinto de 0, 1 y -1, es un conjunto infinito numerable. El conjunto de los números enteros y el de los racionales también son infinitos numerables como se verá más adelante.
* El conjunto de los naturales es un conjunto totalmente ordenado, es decir, existe una relación de orden total, lo que significa que existe una relación de orden y que dos...