Numeros reales

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TABLA Tabla 1. Propiedades que debe cumplir un conjunto G bajo una operación para ser considerado un Grupo, siendo elementos de G. Tabla 2. Propiedades y características que presentan las principales estructuras algebraicas Tabla 3. Algunas propiedades de las desigualdades Tabla 4. Intervalos abiertos, cerrados y semiabiertos

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ii

Í N D I C E

D E

F I G U R A SFIGURA Figura 1. Números egipcios (escritura jeroglífica) Figura 2. Números chinos Figura 3. Números mayas Figura 4. Línea del tiempo en que surgieron los distintos conjuntos de números Figura 5. Reproducción de un Mural Pictográfico de la Cueva de los Petroglifos del Sistema Cavernario de Constantino, Sierra de Galeras, Viñales, Pinar del Río, Cuba Figura 6. Fracciones del Ojo de Horus Figura 7.La ‘razón áurea’ presente en el templo de Neptuno Figura 8. Representación en diagramas de Venn de los subconjuntos incluidos en los números reales Figura 9. Esquema de la subdivisión de los conjuntos que conforman el universo de los reales

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iii

Í N D I C E
ÍNDICE DE TABLAS ÍNDICE DE FIGURAS 1. SISTEMAS NUMÉRICOS 1.1. 1.2. 1.3. 1.4. Números Naturales NúmerosEnteros Números Racionales Números Irracionales ii iii 1 3 4 5 5 8 8 11 12 13 14 17 17 18 19 19 23 27 31 33 41 44 46

2. ESTRUCTURAS ALGEBRAICAS 2.1. 2.2. 2.3. 2.4. 2.5. Grupo Semigrupo Monoide Anillo Campo

3. CONVERSIÓN DE NÚMEROS RACIONALES A SU FORMA DECIMAL Y VICEVERSA 3.1. 3.2. Conversión de forma fraccionaria a decimal Conversión de forma decimal a fracción

4. INDUCCIÓN MATEMÁTICA 4.1.4.2. 4.3. Sucesiones Series Método de la inducción matemática

5. INECUACIONES Y DESIGUALDADES 5.1. 5.2. 5.3. Inecuaciones lineales Inecuaciones cuadráticas Problemas de aplicación

REFERENCIAS

iv

La matemática es la reina de todas las ciencias y la teoría de números es la reina de las matemáticas
Carl Friedrich Gauss

Los números perfectos como los hombres perfectos, son muy raros.René Descartes

v

Números Reales

1. SISTEMAS NUMÉRICOS
Es importante distinguir entre lo que se conoce como sistemas de numeración y los

sistemas numéricos.

Sistemas de numeración
A través de la historia las distintas culturas han creado sistemas de numeración, es decir, conjuntos de símbolos y reglas matemáticas que permiten generar y construir todos los números válidos dentro delsistema. Básicamente los sistemas de numeración se han clasificado en

aditivos, híbridos y posicionales. Los sistemas aditivos, como
su nombre lo indica, son los que acumulan símbolos por cada unidad, decena, centena, etc., hasta completar el número deseado. En este tipo de sistemas quedan representados físicamente todos los elementos que componen un número. Entre las culturas que utilizaroneste tipo de sistema se cuentan la egipcia, la griega, la sumeria, la azteca, la romana, la judía y la árabe entre otras. Por otra parte, los sistemas híbridos combinan el principio
Figura 1. Números egipcios (escritura jeroglífica)

multiplicativo con el aditivo, es decir, si para representar el número 700 los sistemas aditivos recurren a siete representaciones del 100, este sistema utilizaráuna combinación del 7 y el 100. El orden es fundamental en este tipo de sistemas para evitar confusiones a diferencia del aditivo que podía escribirse en desorden, o bien, se respetaba algún orden por cuestión de estética. Las culturas que utilizaron este tipo de numeración fueron la china clásica, la asiria, la aramea, la etíope entre otras.

Figura 2. Números chinos

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Números RealesFinalmente, los sistemas posicionales fueron la evolución de los sistemas híbridos. En este tipo de sistemas, la posición del número nos indica si estamos hablando de unidades, decenas, centenas, etc., es decir, la potencia de la base correspondiente. Los indios, babilonios, chinos y mayas son los pueblos que lograron desarrollar sistemas posicionales de distintas bases (60 los babilonios, 20 los...
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