Numeros reales

Cálculo Diferencial. I. Números reales y Funciones

Francisco J. Sepúlveda C.

ESCUELA TECNOLÓGICA INSTITUTO TÉCNICO CENTRAL TEMA 1: NÚMEROS REALES, FUNCIONES Y GRÁFICAS INTRODUCCIÓN El Cálculo se basa en el sistema de los números reales y sus propiedades. Pero, ¿cuáles son los números reales y sus propiedades? Respondamos a esta pregunta, comenzando con algunos sistemas numéricos mássimples. Al principio, el hombre solo requería medir y contar, para ello utilizaba los números naturales, que se representan y definen así: N = {0,1,2,3,4,... } . Con estos números se comienza en el Pre-escolar y Primaria a contar libros, frutas, compañeros de curso, dinero. Si a estos números se les agrega los inversos aditivos de los números naturales diferentes de cero, se obtiene el conjunto de losenteros, que se definen así: Z = {,...,−4,−3,−2,−1,0,1,2,3,4,... }.
Cuando se trata de medir: longitudes, pesos o voltajes, los enteros son inadecuados, no permiten precisión, por estar tan espaciados. Es necesaria ampliar este conjunto. Se llega a 3 − 7 8 25 1 considerar cocientes (razones) de los enteros, números tales como: , , ,− y , 4 8 2 5 3 pertenecen a este nuevo conjunto. Este conjunto denúmeros se llaman racionales, y se definen así: ⎧ p Q = ⎨ x / x = , p, q ∈ Z , q ≠ 0} . q ⎩ Es decir, todo número, que pueda expresarse como el cociente de dos enteros es un número racional. Luego son racionales: los números naturales, los números enteros, los números decimales con cifra decimal finita y los números decimales con cifra decimal infinita periódica.

¿Sirven los números racionalespara medir todas las longitudes? No. Para los griegos 2 era un número inconmensurable, sin embargo fueron los Pitagóricos que descubrieron algunos siglos antes de Cristo que si se construye un triángulo rectángulo isósceles cuyos catetos miden 1 unidad, la hipotenusa mide 2 unidades. Este número no puede expresarse como el cociente de dos números enteros, tiene cifra decimal infinita noperiódica. ( 2 ≈ 1.4142135623730950... ). Todos los números que tienen cifra decimal infinita no periódica se llaman irracionales y se representan por I = Q!. Son irracionales: 3 , 5 , 3 7 , π , e y gran cantidad de números más.
La unión de todos los números racionales y todos los números irracionales corresponde a los números reales que se denotan así: R = Q ∪ I . Los reales se representan en una recta,llamada recta real. En ella, a cada punto, le corresponde un número real, y todo número real tiene su ubicación en la recta. Por ello se afirma que la RECTA REAL ES COMPLETA, ni
6

Cálculo Diferencial. I. Números reales y Funciones

Francisco J. Sepúlveda C.

sobran números que no estén ubicados en la recta en la recta, ni sobran puntos de la recta donde no hallan números. En resumen , N esun subconjunto de Z, Z es subconjunto de Q y Q es subconjunto de R. I y Q son conjuntos disyuntos, pero I es también subconjunto de R. Es decir: N ⊂ Z ⊂ Q ⊂ R, I ⊂ R, Q ∪ I = R .
La recta real.

El conjunto de números reales se puede representar mediante los puntos de una recta horizontal, que se denomina recta real, donde a cada punto le corresponde un único número real. Al número realcorrespondiente a un punto particular de la recta se le denomina coordenada del punto.
Desigualdades. Dados dos números reales a, b entonces: a < b si y solo si b – a es positiva a = b si y solo si a – b = 0 a > b si y solo si a – b es positiva Propiedades. Si m, n ∈ R, tal que m > n, entonces m + c > n + c para todo c ∈ R. Si m, n ∈ R, y m < n, entonces: mc < nc, si c> 0 y mc > nc, si c< 0 m n m n < ,si c > 0 y > , si c < 0 c c c c

Intervalos Un intervalo es un subconjunto de la recta real. Clases de intervalos En general, si a y b son números reales, tales que a < b, entonces: Intervalo abierto: ( a , b ) = {x ∈ R : x < b,∧, x > a } = {x ∈ R : a < x < b } [a, b] = {x ∈ R : x ≤ b,∧ x ≥ a } = {x ∈ R : a ≤ x ≤ b } Intervalo cerrado: Intervalo cerrado-abierto: [a, b ) = {x ∈ R : x < b,∧, x...