operadores diferenciales

1.4.- Operadores diferenciales para el estudio de campos Escalares y Vectoriales.
La derivada se utiliza para el estudio de las funciones escalares de una variable. Con ella se puede conocer la ubicación de sus máximos y mínimos, y los intervalos de crecimiento y decrecimiento. De manera análoga, la diferenciación de campos escalares y vectoriales se utiliza frecuentemente para de­finirmagnitudes vinculadas a los campos en una región del espacio, las cuales sirven para estudiar el comportamiento del campo.
A diferencia de lo que sucede con la integración de campos, el resultado de la diferenciación de campos sigue siendo siempre una función espacial, y por lo tanto es también un campo.
1.4.1 Gradiente de un campo escalar.
Estudio de los cambios diferenciales de un campo escalar.El estudio de un campo escalar es una extensión del estudio de funciones escalares de una sola va­riable. En el caso de éstas últimas, la derivada da la información respecto a intervalos de creci­miento o decrecimiento y la ubicación de máximos y mínimos locales.
En el caso de un campo escalar, las regiones de crecimiento o decrecimiento son volúmenes. Por otra parte, al existir tres grados delibertad de movimiento, existe una dirección en la cual ocurre el máximo crecimiento por unidad de longitud. Debido a esto último, para describir el comportamiento de un campo escalar se requiere de un operador diferencial vectorial.
Se desea entonces construir un vector que provea información respecto al cambio diferencial que se produce en el campo al desplazar el punto de evaluación unadistancia diferencial en una dirección dada, y que también dé información sobre la dirección de máximo cambio. Para lograrlo, se estudian en detalle los cambios de un campo escalar cualquiera.
Sea un campo escalar univaluado y diferenciable en todo su dominio. Se elige un punto del dominio, y se denota como el valor del campo en . El punto pertenece entonces a la superficie de nivel .
Paraestudiar el cambio de en , se supone que en no hay un máximo ni un mínimo local y se elige un punto exterior a la superficie de nivel y separado de una distancia diferencial dl. El punto pertenece a la superficie de nivel , que es paralela a la superficie y esencialmente plana en la vecindad de , como se muestra en la figura 1.22 de la siguiente página.

Fig. 1.22: Evaluación delcambio diferencial de un campo escalar.
Para determinar la dirección en que se obtiene el máximo cambio por unidad de longitud , dejando fijo al punto se mueve al punto sobre la superficie , la cual se deja fija, lo cual hace que también sea fijo. Puede observarse que cuando el vector dl = dl1l coincide con el vector dn = dn1n normal a la superficie en el punto (es decir, cuandocoincide con ), la distancia dl es mínima y el cociente es máximo o mínimo, dependiendo del signo de .
De lo observado, puede concluirse que:
a) La dirección de máximo cambio de un campo escalar en un punto es normal en el punto a la superficie de nivel que pasa por el punto.
b) El valor máximo del cociente es si se elige 1n apuntando en la dirección de crecimiento del campo.
Definición delgradiente de un campo escalar.
El gradiente de un campo escalar es un vector cuya magnitud, dirección y sentido son los de la máxima derivada direccional del campo en cada punto:
(1.17)
De la figura 1.22 y de la ecuación 1.17, se concluye que el gradiente es un campo vectorial normal a las superficies de nivel del campo en cada punto, y que apunta en la dirección de máximo crecimiento delcampo. La relación geométrica entre un campo escalar y su gradiente tiene importancia fundamental en Electrostática, como se verá más adelante en la Unidad 5.
Evaluación del gradiente de un campo escalar.
Para evaluar el gradiente de un campo escalar se desarrolla una fórmula que involucra las deriva­das del campo respecto a las coordenadas, así como los coeficientes métricos del sistema de...