OPTIMIZACION CON FUNCIONES DE VARIAS VARIABLES.

UNIDAD I. OPTIMIZACION CON FUNCIONES DE VARIAS VARIABLES.

UNIVERSIDAD DE EL SALVADOR
FACULTAD DE CIENCIAS ECONOMICAS
DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA Y ESTADISTCA
MATEMATICA III. CICLO I – 2010

UNIDAD I.

OPTIMIZACION CON FUNCIONES DE VARIAS
VARIABLES.
Documento preparado por: Ing. Elmer Edgardo Espinoza
Lic. Oscar Roberto Chacón

MATERIAL DE APOYO – CONTROL DE LECTURA No. 1

MÁXIMOSY MINIMOS RELATIVOS DE FUNCIONES DE VARIAS VARIABLE
En las empresas hay situaciones en las cuales las actividades de producción y o mercado,
entre otras, se encuentran con ciertas condiciones que las limitan y circunscriben a determinados
montos y alcances o proyecciones. De ahí que los montos de producción y venta que minimizan
costos y o maximizan utilidades se ven afectados por dichascondiciones, por lo cual se hace
necesario considerar los Máximos y Mínimos sin Condiciones y los Máximos y Mínimos con
Condiciones.
Máximos y Mínimos sin Condiciones
Notación:
Expresión

Significado

f P

la función evaluada en el punto P

df
dqP

la derivada total de f con respecto a q, evaluada en po (en este

0

caso f es una función de una sola variable)

f
uP

la derivadaparcial de f con respecto a u, evaluada en po (en este

0

caso f es una función de varias variables)

Es conocido que una función tiene un máximo relativo en un punto P si la función evaluada en
dicho punto es mayor o igual a la función evaluada en cualquier punto en las proximidades del
punto P. De manera similar, una función tiene un mínimo relativo en un punto P si la funciónevaluada en dicho punto es menor o igual a la función evaluada en cualquier punto en las
proximidades del punto P.

1

UNIDAD I. OPTIMIZACION CON FUNCIONES DE VARIAS VARIABLES.

Definición:
Se dice que una función de varias variables f(r, s, t, ……, z) tiene un valor máximo relativo en
un punto P0(r0, s0, t0, ……, z0) si f(r0, s0, t0, ……, z0)

f(r, s, t, ……, z) para todos los puntos

P(r, s,t, ……, z) próximos al punto P0(r0, s0, t0, ……, z0).
“una función f de varias variables tiene un valor máximo relativo en un punto P 0 si dicha
función f evaluada en P0 es mayor o igual que f evaluada en cualquier punto próximo a P0”
Si f(r0, s0, t0, ……, z0)

f(r, s, t, ……, z) para todos los puntos P(r, s, t, ……, z) próximos al

punto P0(r0, s0, t0, ……, z0), entonces la función tiene unmínimo relativo en el punto P0.
“si f evaluada en P0 es menor o igual que f evaluada en cualquier punto próximo a P0 la
función f de varias variables tiene un valor mínimo relativo en P0”
PUNTO
f
r P

CRITICO:
f
s P

0,

0

A

todo

f
t P

0,

0

punto

0, .......... ,

0

P0

f
z P

para

el

cual

se

cumple

que

0 , se le conoce como “un puntocrítico de

0

la función f ”. En un punto crítico P0, puede que la función f tenga un máximo o un mínimo.
DETERMINANTE HESSIANO:
De una función de dos variables, u = f(x1, x2), se pueden obtener un máximo de “dos al
cuadrado” derivadas parciales de segundo orden, o sea cuatro: f x x , f x x , f x x , f x x .
1 1

1 2

2 1

2 2

Si estas derivadas parciales se ubican en un arreglocuadrado fila-columna se obtiene el
determinante de orden dos:

fx x
2

fx x

fx x

fx x

1 1
2 1

1 2

2 2

A este arreglo conformado por todas las posibles derivadas parciales de segundo orden de f se
le conoce como “el determinante Hessiano de la función f de dos variables”
Si la función es de tres variables, u = f( x1, x2, x3 ), se pueden obtener un máximo de “tres al
cuadrado”derivadas parciales de segundo orden, o sea nueve:

fx x , fx x , fx x , fx x , fx x , fx x , fx x , fx x , fx x .
1 1

1 2

1 3

2 1

2 2

2 3

3 1

3 2

3 3

2

UNIDAD I. OPTIMIZACION CON FUNCIONES DE VARIAS VARIABLES.

Si estas derivadas parciales se ubican en un arreglo cuadrado fila-columna se obtiene el
determinante de orden tres:

fx x

fx x

fx x

fx...