Optimizacíon matematica

OPTIMIZACIÓN. Muchos de los problemas que se presentan en la práctica diariamente, están relacionados de una forma u otra, con encontrar los valores máximos y mínimos de una función, y más aún, determinar para qué valores de la variable independiente se alcanzan estos. Estos problemas se llaman, en general, problemas de optimización. En términos generales, un problema de optimización consiste enencontrar el valor mínimo o minimizar, o encontrar el valor máximo o maximizar, una cierta función, de tal forma que satisfagan ciertas condiciones dadas. La solución o soluciones óptimas son aquellas para las cuales se satisfacen las restricciones del problema y el valor de la función sea mínimo o máximo. La función que representa el problema de optimización se le llama función objetivo. Muchasde la aplicaciones importantes de las derivadas incluyen encontrar los valores máximo y mínimo de una función particular. Por ejemplo, la utilidad que obtiene un fabricante depende del precio que cobra por el producto y el fabricante esta interesado en conocer el precio que hace que su ganancia sea máxima. El precio óptimo se obtiene por medio de un proceso llamado maximización u optimización de lafunción de utilidad.

Derivadas. La primera derivada.
La primera derivada representa la rapidez de cambio instantánea de f(x) con respecto a un cambio en x. Se dice que la función f(x) es una función creciente en un intervalo I si para cualesquier x1 y x2 dentro del intervalo, x1 < x2 implica f (x1) < f (x2).

1

Si la primera derivada es positiva en un intervalo f (x). entonces lapendiente de la tangente es positiva y f (x) es una función creciente en el intervalo. Esto es, en cualquier punto dentro del intervalo, un incremento pequeño en el valor de x se vera acompañado por un incremento en el valor de f (x). Las curvas en las siguientes figuras son las gráficas de funciones crecientes de x, puesto que la pendiente de la tangente en cualquier punto es positiva.

Figura 1:Funciones crecientes

Se dice que la función f (x) es una función decreciente en un intervalo I si para cualesquier x1 y x2 dentro del intervalo, x1 < x2 implica f (x1) > f (x2). Si la primera derivada es negativa en un intervalo f(x). entonces la pendiente de la tangente es negativa y f(x) es una función decreciente sobre el intervalo. Esto es, en cualquier punto dentro del intervalo, un incrementopequeño en el valor de x se vera acompañado por un decremento en el valor de f(x). Las curvas en las siguientes figuras son las gráficas de funciones decrecientes de x, puesto que la pendiente de la tangente en cualquier punto es negativa.

2

Figura 2: Funciones decrecientes Si una función es creciente sobre un intervalo, la función es creciente en cualquier punto dentro de intervalo. Si unafunción es decreciente sobre un intervalo, la función es decreciente en cualquier punto dentro de intervalo. Ejemplo. Dado f x = 5x2 + 20x + 3, determinar los intervalos sobre los cuales f(x) puede describirse como a) una función creciente, b) una función decreciente y c) ni creciente ni decreciente. Solución. Para determinar si f(x) es creciente o decreciente se tiene que encontrar inicialmentef´(x): f x = 5x2 + 20x + 3 f ´(x) = 10x − 20 f(x) sera una función creciente cuando f´(x) > 0, o cuando 10x − 20 > 0 10x > 20 20 x> 10 x>2 f(x) sera una función decreciente cuando f´(x) < 0, o cuando 10x − 20 < 0

3

10x < 20 20 x< 10 x 2. Se dice que una función f (x) es estacionaria( ni creciente ni decreciente) en x = a si f (a) = 0.

La segunda derivada.
La segunda derivada es la derivadade la primera derivada. Indica la rapidez a la cual la pendiente de la linea tangente esta cambiando con respecto a un cambio en x; o sea si la pendiente de la tangente esta creciendo o decreciendo en un instante dado. Si f"(x) es negativa sobre un intervalo de f(x), la primera derivada es decreciente o en forma gráfica, la pendiente de la tangente esta decreciendo sobre el intervalo. Si f"(x)...