Origenes del calculo diferencial e integral i
Páginas: 33 (8153 palabras)
Publicado: 9 de noviembre de 2011
Orígenes del Cálculo Diferencial e Integral I.
De la matemática griega a los antecedentes del cálculo.
Historia del Análisis Matemático
Evolución de la idea de integral
499
Problemas de cuadraturas en las matemáticas griegas
8.8. Evolución de la idea de integral
Los problemas de cuadraturas son problemas geométricos que consisten en lo siguiente:
Es un buen ejercicio de cálculoque compruebes estos resultados paso a paso. Te garantizo que el resultado final obtenido es correcto. Un resultado parecido se obtiene para el caso en que b > a. Lo dejo para que lo hagas tú. ©
8.8.1. Problemas cuadrado con área igual a la de dada una gura, construir unde cuadraturas en las matemáticas griegas la gura dada. Esta construcción
5 debía hacerse conLos problemas de cuadraturasson problemas geométricos que consisten en lo siguiente: regla no graduada y compás, siguiendo unas normas precisas. Según lo dada una figura, construir un cuadrado con área igual a la de la figura dada. Esta construcción establecido en los Elementos de Euclides (c. 300 a.C.) la construcción debe constar de un debía hacerse con regla no graduada y compás, siguiendo unas normas precisas. Según loestanúmero nito de pasos, cada uno Euclides (c. consistente en: blecido en los Elementos de de ellos 300 a.C.) la construcción debe constar de un número finito de pasos, cada uno de ellos consistente en: • Trazar una recta que una dos puntos.
• •
Son famosos los problemas de la cuadratura del círculo, la trisección de un ángulo, la duplicación Son famosos los problemas de la cuadratura delcírculo, la trisección de un ángulo, la duplidel cubo y la inscripción de polígonos polígonos regularesuna circunferencia.laEn la antigua Grecia se cación del cubo y la inscripción de regulares en en una circunferencia. En antigua Grecia se sabía cuadrar cualquier polígono. sabía cuadrar cualquier polígono.
Trazar una recta que una dos puntos. Trazar una circunferencia de centro y radioarbitrarios. Trazar una circunferencia de centro y radio arbitrarios. Intersecar dos de las guras anteriores. Intersecar dos de las figuras anteriores.
F
G
A
O
B
E
H
D
C
Figura 8.26. Cuadratura de un rectángulo
Figura 1. Cuadratura de un rectángulo Para cuadrar el rectángulo ABCD de la figura 8.26 se procede de la forma siguiente:
1) Se prolonga el ABCD determina sobre 1se procede de la BC . Para cuadrar el rectángulo lado AB y sede la gura él un punto E tal que BE D forma siguiente:
1) Se prolongaGonzález Urbaneja [7]y H. J. M. Bos [2]. el lado AB y se determina sobre él un punto 2) Se traza con centro en el punto medio
5 Para
escribir estas notas históricas he seguido de cerca los trabajos de Kirsti Andersen [1], Israel Kleiner [10],
E
tal que
BE= BC.
la
Universidad de Granada 3) Se traza por una perpendicular a Dpto. de Análisis Matemático semicircunferencia.
B
O de AE una semicircunferencia de radio OE. Prof. Javier Pérez AE y se determinadiferencial e integral corte F con su punto de Cálculo
4) El segmento
FB
es el lado de un cuadrado cuya área es igual a la del rectángulo
ABCD.
Esto es consecuencia de que laaltura
FB
de un triángulo rectángulo
entre las dos partes en que divide a la hipotenusa, es decir,
AFE es media proporcional FB/AB = BE/FB, por lo que
FB2 = AB.BE = AB.BC.
A partir de aquí es fácil obtener la cuadratura de un triángulo, lo que permite obtener la cuadratura de cualquier polígono descomponiéndolo en triángulos. Los matemáticos griegos
inventaron un procedimiento,que se conoce con el nombre de exhausción, por el cual podían lograr la cuadratura de algunas regiones delimitadas por curvas. Se atribuye a Eudoxo de Cnido (c. 400 - 347 a.C.) la invención de este método, que fue perfeccionado posteriormente por Arquímedes (c. 287 - 212 a.C.). El siguiente es un notable ejemplo de su aplicación.
Cuadratura de un segmento de parábola por Arquímedes...
De la matemática griega a los antecedentes del cálculo.
Historia del Análisis Matemático
Evolución de la idea de integral
499
Problemas de cuadraturas en las matemáticas griegas
8.8. Evolución de la idea de integral
Los problemas de cuadraturas son problemas geométricos que consisten en lo siguiente:
Es un buen ejercicio de cálculoque compruebes estos resultados paso a paso. Te garantizo que el resultado final obtenido es correcto. Un resultado parecido se obtiene para el caso en que b > a. Lo dejo para que lo hagas tú. ©
8.8.1. Problemas cuadrado con área igual a la de dada una gura, construir unde cuadraturas en las matemáticas griegas la gura dada. Esta construcción
5 debía hacerse conLos problemas de cuadraturasson problemas geométricos que consisten en lo siguiente: regla no graduada y compás, siguiendo unas normas precisas. Según lo dada una figura, construir un cuadrado con área igual a la de la figura dada. Esta construcción establecido en los Elementos de Euclides (c. 300 a.C.) la construcción debe constar de un debía hacerse con regla no graduada y compás, siguiendo unas normas precisas. Según loestanúmero nito de pasos, cada uno Euclides (c. consistente en: blecido en los Elementos de de ellos 300 a.C.) la construcción debe constar de un número finito de pasos, cada uno de ellos consistente en: • Trazar una recta que una dos puntos.
• •
Son famosos los problemas de la cuadratura del círculo, la trisección de un ángulo, la duplicación Son famosos los problemas de la cuadratura delcírculo, la trisección de un ángulo, la duplidel cubo y la inscripción de polígonos polígonos regularesuna circunferencia.laEn la antigua Grecia se cación del cubo y la inscripción de regulares en en una circunferencia. En antigua Grecia se sabía cuadrar cualquier polígono. sabía cuadrar cualquier polígono.
Trazar una recta que una dos puntos. Trazar una circunferencia de centro y radioarbitrarios. Trazar una circunferencia de centro y radio arbitrarios. Intersecar dos de las guras anteriores. Intersecar dos de las figuras anteriores.
F
G
A
O
B
E
H
D
C
Figura 8.26. Cuadratura de un rectángulo
Figura 1. Cuadratura de un rectángulo Para cuadrar el rectángulo ABCD de la figura 8.26 se procede de la forma siguiente:
1) Se prolonga el ABCD determina sobre 1se procede de la BC . Para cuadrar el rectángulo lado AB y sede la gura él un punto E tal que BE D forma siguiente:
1) Se prolongaGonzález Urbaneja [7]y H. J. M. Bos [2]. el lado AB y se determina sobre él un punto 2) Se traza con centro en el punto medio
5 Para
escribir estas notas históricas he seguido de cerca los trabajos de Kirsti Andersen [1], Israel Kleiner [10],
E
tal que
BE= BC.
la
Universidad de Granada 3) Se traza por una perpendicular a Dpto. de Análisis Matemático semicircunferencia.
B
O de AE una semicircunferencia de radio OE. Prof. Javier Pérez AE y se determinadiferencial e integral corte F con su punto de Cálculo
4) El segmento
FB
es el lado de un cuadrado cuya área es igual a la del rectángulo
ABCD.
Esto es consecuencia de que laaltura
FB
de un triángulo rectángulo
entre las dos partes en que divide a la hipotenusa, es decir,
AFE es media proporcional FB/AB = BE/FB, por lo que
FB2 = AB.BE = AB.BC.
A partir de aquí es fácil obtener la cuadratura de un triángulo, lo que permite obtener la cuadratura de cualquier polígono descomponiéndolo en triángulos. Los matemáticos griegos
inventaron un procedimiento,que se conoce con el nombre de exhausción, por el cual podían lograr la cuadratura de algunas regiones delimitadas por curvas. Se atribuye a Eudoxo de Cnido (c. 400 - 347 a.C.) la invención de este método, que fue perfeccionado posteriormente por Arquímedes (c. 287 - 212 a.C.). El siguiente es un notable ejemplo de su aplicación.
Cuadratura de un segmento de parábola por Arquímedes...
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