Padre

UNIDAD I


NÚMEROS REALES.


A) INTRODUCCIÓN.-


En el mundo de los números enteros, no siempre es posible la división exacta por un número positivo. Esta imposibilidad puede salvarse extendiendo el campo numérico mediante la introducción de los números Racionales.

La aritmética de los números racionales suele introducirse en la forma de cálculo con fracciones (a / b ), endonde (a) es un entero cualquiera y (b) un entero positivo. Se admite que las reglas para el cálculo con fracciones son las mismas que pueden utilizarse con los cocientes en el mundo de los números enteros. Es preciso legitimizar este cálculo con números fraccionarios, introduciendo rigurosamente los números racionales mediante un procedimiento totalmente análogo al seguido para legitimizar elcálculo con expresiones del tipo (a-b) al utilizar e introducir los números enteros.

El punto de partida en el campo de los números racionales son posibles, además de la adición y multiplicación, las operaciones inversas de estas (substracción y división, con excepción del divisor nulo). Por consiguiente, la estructura algebraica del campo racional es bastante uniforme. Sin embargo, en muchascuestiones se observa la conveniencia de establecer sistemas numéricos mas amplios, que permitan efectuar ciertas operaciones que no tienen sentido en el campo racional, como la extracción de raíces o el paso al Límite.

La forma más natural de extender el campo racional consiste en la introducción de los Números Reales.

B) Clasificación y propiedades de los números reales.-

El conjuntode los números reales está formado por el conjunto de los números racionales (enteros positivos, enteros negativos, el cero y los fraccionarios de la forma a / b, siendo (a) y (b) números enteros) y el conjunto de los números irracionales (de infinitas cifras decimales, como por ejemplo 2= 1.4142, ¶= 3.14159, que no se pueden expresar como una relación entre enteros).

Como ejemplo tenemosque si : √2 = 1.4142135 por lo tanto 75=1< 2 y32=1.5> √2 etc.

a) Valor absoluto o numérico de un número real.

El valor absoluto de un número real, se define como sigue:

|N| (valor absoluto) = N (número real) si este es = D, o es No positivo.

|N| = -N, si este es un numero negativo.

Por ejemplo;
3= -3= 3
3-5= 5-3= 2
x-a= x-a si x ≥ a y x-a= a-x si x < aTambién podemos decir que:

N| = N si N > 0
N= 0 si N = 0
N = 0, N = -N si N < 0
(Numero negativo) en otra forma podemos concluir en general que, si (a) y (b) son números cualquiera, entonces
:
-|a| ≤ a ≤ |a|
También:
a + b= b + a
|a + b| ≥ |a| - |b|
|a + b| ≤ |a| + |b|
|a – b| ≤ |a| + |b|
|a – b| ≥ |a| - |b|
Ejercicios.

1).- De los conjuntos de números que acontinuación se proporcionan, ordenarlos y colocar y colocar el signo < entre ellos como corresponda.

a). |-12|, |5/2|, |-9|, |1|, |-2|, |6|.
b). |3+4|, |9-6|, |2-8|, |-3-6|.
Solución.

a). |1| < |-2| <|5/2| < |6| < |-9| < |-12| puesto que: 1< 2 < 5/2 < 6 < 9 < 12

b). |9-6| < |2-8| < |3+4|< |-3-6| puesto que: 3 < 6 < 7 < 9

b) Escala numérica de los números reales.

La escala numérica de los números reales, se puede representar gráficamente a través de puntos en la recta numérica, así, el conjunto de todos los números reales se pueden poner en correspondencia biunívoca con los puntos de una recta, por lo tanto, los vocablos numero y punto (en un escala numérica)se pueden utilizar indistintamente.

c) Sistema coordenado lineal (sistema unidimensional)

Este sistema es el que utilizaremos para establecer una relación de correspondencia entre un punto geométrico y un numero real, por ello es importante hacer notar que el sistema coordenado lineal se utiliza en gran parte para fines deductivos en la obtención de formulas que relacionan a puntos y...