Polinomios

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Polinomio
En matemática, un polinomio (del gr, «poli»-muchos y «νόμος»- división, y el lat. «binomius»)1 2 3 es una expresión constituida por un conjunto finito de variables (no determinadas o desconocidas) y constantes (números fijos llamados coeficientes), utilizando únicamente las operaciones aritméticas de suma, resta y multiplicación, asícomo exponentes enteros positivos. En otras palabras, es una combinación lineal de productos de potencias enteras de una o de varias indeterminadas.
Es frecuente el término polinomial, como adjetivo, para designar cantidades que se pueden expresar como polinomios de algún parámetro, como por ejemplo en tiempo polinomial.
Los polinomios son objetos muy utilizados en matemáticas y en ciencia. Enla práctica, son utilizados en cálculo y análisis matemático para aproximar cualquier función derivable; las ecuaciones polinómicas y las funciones polinómicas tienen aplicaciones en una gran variedad de problemas, desde la matemática elemental hasta áreas como la física, química,economía y las ciencias sociales.
En áreas de las matemáticas aplicadas, los polinomios son utilizados para construirlos anillos de polinomios, un concepto central en álgebra abstracta y geometría algebraica.

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Definición algebraica
[editar]Polinomios de una variable
Para a0, …, an constantes en algún anillo (en particular podemos tomar un cuerpo, como  o , en cuyo caso los coeficientes del polinomio serán números) con an distinto de cero y , entoncesun polinomio, , de grado n en la variable x es un objeto de la forma
 
El polinomio se puede escribir más concisamente usando sumatorios como

Las constantes a0, …, an se llaman los coeficientes del polinomio. A a0 se le llama el coeficiente constante (o término independiente) y a an, el coeficiente principal. Cuando el coeficiente principal es 1, al polinomio se le llama mónico o normado.[editar]Polinomios de varias variables
Los polinomios de varias variables, a diferencia de los de una variable, tienen en total más de una variable. Por ejemplo los monomios:

En detalle el último de ellos  es un momonio de tres variables (ya que en él aparecen las tres letras x, y y z), el coeficiente es 4, y los exponentes son 1, 2 y 1 de x, y y zrespectivamente.-------------------------------------------------
[editar]Operaciones con polinomios
Artículo principal: Operaciones con polinomios
Los polinomios se pueden sumar y restar agrupando los términos y simplificando los monomios semejantes. Para multiplicar polinomios se multiplica cada término de un polinomio por cada uno de los términos del otro polinomio y luego se simplifican los monomios semejantes. Por ejemplo:
    
Parapoder realizar eficazmente la operación se tiene que adquirir los datos necesarios de mayor a menor. Una fórmula analítica que expresa el producto de dos polinomios es la siguiente:
  
Aplicando esta fórmula al ejemplo anterior se tiene:
   
Puede comprobarse que para polinomios no nulos se satisface la siguiente relación entre el grado de los polinomios  y  y el polinomio producto :
(*)Puesto que el producto de cualquier polinomio por el polinomio nulo es el propio polinomio nulo, se define convencionalmente que  (junto con la operación ) por lo que la expresión (*) puede extenderse también al caso de que alguno de los polinomios sea nulos.
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[editar]Grado de un polinomio
Particularmente el grado de un monomio es el mayor exponentede sus variable. El grado de un polinomio es el del monomio de mayor grado. En el polinomio, existe el término independiente, que es un monomio que no tiene variable que lo acompañen. Algunos ejemplos:
P(x) = 2, polinomio de grado cero. (Ya que no hay Variable)
P(x) = 3x + 2, polinomio de grado uno.
P(x) = 3x² + 2x², polinomio de grado dos.
P(x) = 2x2+ 3x + 2, polinomio de grado dos....
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