Polinomios

Clase 01 - Polinomios (29-09-2012)

Objetivo: El alumno debe adquirir destrezas en operar
polinomios, hacer factorizaciones, hallar raíces y resolver
ecuaciones de segundo grado utilizando la resolvente.

1

Clase 01 - Polinomios (29-09-2012)
Recursos:
• Regla de los signos:

• Suma de racionales:

• Multiplicación de racionales:

• División de racionales:

• Invertir unafracción:

• Despejes.
• Sistema de ecuaciones (Igualación, sustitución o reducción).
• Definición y partes de un polinomio:
!
Un polinomio es la suma de varias potencias de una variable “x” multiplicadas por
coeficientes “ai”, de la forma:

!
Se dice que este polinomio es de grado “n” porque es la mayor potencia que
aparece en toda la expresión. Los polinomios tienen valor numérico, cuando sesustituye
la variable “x” por algún número. Se dice que x* es una raíz si p(x*) es exactamente igual
a 0.
!

“an” se conoce como el coeficiente líder, pues acompaña a la mayor potencia de x.

2

Clase 01 - Polinomios (29-09-2012)
• Coeficiente Líder + raíces --> polinomio factorizado:
!
Si se conocen las n raíces de un polinomio de grado “n”, y el coeficiente líder,
podemos escribir:!
La expresión de la derecha es la forma factorizada, porque es la multiplicación de
varios factores. En cambio, en el lado izquierdo tenemos la suma de monomios.
• Idea “Hallar las raíces de un polinomio es equivalente a factorizarlo”:
!
Esto es cierto, porque si entendemos cómo se construye un polinomio factorizado,
podemos ver a simple vista las raíces:

!

Y las raíces son

.• Polinomios semejantes:
!
Dos polinomios son semejantes si: 1º) son del mismo grado y 2º) todos los
coeficientes son iguales.
• Agrupación de términos semejantes:

!
“
” y “
” son términos semejantes porque tienen la misma variable con la
misma potencia, a pesar de que sus coeficientes no sean los mismos. De modo que “x + x
= 2x”
• División de polinomios:
!

Ver problemas: 6 (página17).

• Teorema del resto:
!
Si se quiere dividir un polinomio
cociente c(x) y resto r(x) tales que:

entre otro

!
3

, existen otros dos polinomios:

Clase 01 - Polinomios (29-09-2012)
!
Sabemos que si
es de grado “n” y
es de grado “m” (“m < n”) el polinomio
c(x) será de grado “n - m” y el resto será de grado “m - 1” o menos.
!
Para el teorema del resto, se considera que
,un polinomio de grado 1,
esto implica que el resto será un polinomio de grado 0, es decir un número:
.
!
!
Evaluando a
en
tenemos la igualdad:

!
• Factor común:
!

Si sumamos dos términos, en los cuales exista un factor común, podemos escribir:

siendo “a” el factor común a los términos “ab” y “ac”.
• Resolvente:
!
Esto es una técnica utilizada para resolver ecuaciones conpolinomios de segundo
grado. Si nos proponen una ecuación como:

!

La fórmula resolvente nos dice cuáles son las raíces de dicho polinomio:

• Suma por la diferencia:
!
Producto notable que establece lo siguiente: Teniendo dos números “x” e “y” y
multiplicando la suma de ellos “x+y” por la diferencia “x-y” es equivalente a elevar el
primer número al cuadrado y restarle el segundo número alcuadrado.

• Método de Riffini:
!
!
Ver Problema 4 (página 11).
4

Clase 01 - Polinomios (29-09-2012)
Problema 1. Resolver

Solución:
!
Este es un problema que se hace por etapas, por lo que nos enfocaremos
primeramente en las operaciones de color rojo:

!
que:

Aplicando la suma de fracciones (pensando que el primer sumando es 1/1) vemos

!

Y la expresión original setransforma en:

!
La siguiente parte del problema es invertir la fracción x/(x-1) [operación verde] y
hacer de nuevo suma de fracciones:

5

Clase 01 - Polinomios (29-09-2012)
Problema 1. (Continuación)
!

Aplicando suma de fracciones vemos que:

!

Así la expresión original sigue transformándose en:

!

Finalmente la expresión original es igual a:

!

Las propiedades...