Polinomios

POLINOMIOS
Antes de empezar a nombrar las maneras de encontrar las raíces en un polinomio tocaré algunos puntos importantes:

¿Qué es un polinomio?

En matemáticas, un polinomio (del griego, «poli»-muchos y «νόμος»- división, y el latín «binomius») es una expresión constituida por un conjunto finito de variables (no determinadas o desconocidas) y constantes (números fijos llamadoscoeficientes), utilizando únicamente las operaciones aritméticas de suma, resta y multiplicación, así como exponentes enteros positivos. En otras palabras, es una combinación lineal de productos de potencias enteras de una o de varias indeterminadas.

Es frecuente el término polinomial, como adjetivo, para designar cantidades que se pueden expresar como polinomios de algún parámetro, como por ejemplo entiempo polinomial.

Los polinomios son objetos muy utilizados en matemáticas y en ciencia. En la práctica, son utilizados en cálculo y análisis matemático para aproximar cualquier función derivable; las ecuaciones polinómicas y las funciones polinómicas tienen aplicaciones en una gran variedad de problemas, desde la matemática elemental hasta áreas como la física, química, economía y las cienciassociales. En áreas de las matemáticas aplicadas, los polinomios son utilizados para construir los anillos de polinomios, un concepto central en álgebra abstracta y geometría algebraica.

¿Cuáles son las propiedades de las raíces?

1- Los ceros o raíces enteras de un polinomio son divisores del término independiente del polinomio.
2- A cada raíz del tipo x = a le corresponde un binomiodel tipo (x − a).
3- Podemos expresar un polinomio en factores al escribirlo como producto de todos los binomios del tipo (x — a), que se correspondan a las raíces, x = a, que se obtengan.

x2 − 5x + 6 = (x − 2) · (x − 3)

4- La suma de los exponentes de los binomios ha de ser igual al grado del polinomio.
5- Todo polinomio que no tenga término independiente admite como raíz x =0, ó lo que es lo mismo, admite como factor x.

x2 + x = x · (x + 1)
Raíces: x = 0 y x = − 1

6- Un polinomio se llama irreducible o primo cuando no puede descomponerse en factores.

P(x) = x2 + x + 1

Teniendo en cuenta todo lo mencionado anteriormente, nombraré a continuación algunos métodos para encontrar las raíces en un polinomio.
MÉTODOS PARA EL CÁLCULO DE RAÍCES DE UNPOLINOMIO
Teniendo en cuenta que todos los polinomios son funciones continuas, podemos calcular, con la aproximación deseada, las raíces de un polinomio de la siguiente manera:
1- Especializamos al polinomio en distintos valores, hasta encontrar dos que produzcan resultados de signos contrarios. Los denominamos a y b.
2- Calculamos xm, punto medio entre a y b.
3- Especializamos el polinomioen xm. P (xm)
4- Si el signo de P (xm) coincide con el signo de P(b), entonces consideramos el intervalo (xm ; b), en cuyos extremos la función tiene algunos signos distintos. En caso contrario utilizamos (a; xm).
5- Repetimos los pasos 2°, 3° y 4° hasta que en los extremos del intervalo que estamos considerando tengamos números con tantos decimales iguales como precisión queramos en elcálculo de la raíz.
Ejemplo: Calcular las raíces de P (x) = 50.x3 + 189.x2 + 62.x2 - 62.x – 72
* Comenzamos el cálculo eligiendo los valores arbitrarios para a y b. Por ejemplo 0 y 1. Calculamos P (0) = -72 y P (1) = 105.
* Como P (0) y P(1) tienen signos contrarios comenzamos el procedimiento calculando xm = (0+1) / 2= 0,5
* Ahora buscamos P (0,5) = -5.
* Como es de signocontrario a P (1), la solución debe estar en (0,5; 1).
* Repetimos los pasos anteriores
xm = (0,5+1) / 2 = 0,75 y P (0,75) = 0,178 que tiene sigo contrario a P (0,5). Por lo tanto la solución debe pertenecer a (0,5; 0,75).
xm = (0,5+ 0,75)/ 2 = 0,625 y P (0,625) = -0,494 que tiene como signo contrario a P (0,75). Por lo tanto la solución debe pertenecer a (0,625; 0,75).
xm = (0, 625+...