polinomios

POLINOMIOS


En matemáticas, un polinomio 1 2 3 es una expresión matemática constituida por un conjunto finito de variables (no determinadas o desconocidas) y constantes (números fijos llamados coeficientes), utilizando únicamente las operaciones aritméticas de suma, resta y multiplicación, así como también exponentes enteros positivos. En términos más precisos, es una relación n-aria demonomios, o una sucesión de sumas y restas de potencias enteras de una o de varias variables indeterminadas.
Es frecuente el término polinómico (ocasionalmente también el anglicismo polinomial), como adjetivo, para designar cantidades que se pueden expresar como polinomios de algún parámetro, como por ejemplo: tiempo polinómico, etc.
Los polinomios son objetos muy utilizados en matemáticas y enciencia. En la práctica, son utilizados en cálculo y análisis matemático para aproximar cualquier función derivable; las ecuaciones polinómicas y las funciones polinómicas tienen aplicaciones en una gran variedad de problemas, desde la matemática elemental y el álgebra hasta áreas como la física, química, economía y las ciencias sociales.
En álgebra abstracta, los polinomios son utilizados paraconstruir los anillos de polinomios, un concepto central en teoría de números algebraicos y geometría algebraica.
Los polinomios están constituidos por un conjunto finito de variables (no determinadas o desconocidas) y constantes (llamadas coeficientes), con las operaciones aritméticas de suma, resta y multiplicación, así como también exponentes enteros positivos. Pueden ser de una o de variasvariables.

Polinomios de una variable
Para a0, …, an constantes en algún anillo A (en particular podemos tomar un cuerpo, como \scriptstyle {\mathbb {R}} o \scriptstyle {\mathbb {C}}, en cuyo caso los coeficientes del polinomio serán números) con an distinto de cero y n\in {\mathbb {N}}, entonces un polinomio, P_{{}}^{{}}, de grado n en la variable x es un objeto de la forma
P(x)_{{}}^{{}}=a_{n}x^{n}+a_{{n-1}}x^{{n-1}}+\cdots +a_{1}x^{{1}}+a_{0}x^{{0}}.
Un polinomio P(x)\in K[x] no es más que una sucesión matemática finita \left\{{a_{n}}\right\}_{n} tal que a_{n}\in K.
Representado como:
P(x)_{{}}^{{}}=a_{0}+a_{1}x+a_{2}x^{2}+...+a_{n}x^{n}
el polinomio se puede escribir más concisamente usando sumatorios como:
P(x)=\sum _{{i=0}}^{{n}}a_{{i}}x^{{i}}.
Las constantes a0, …, an sellaman los coeficientes del polinomio. A a0 se le llama el coeficiente constante (o término independiente) y a an, el coeficiente principal. Cuando el coeficiente principal es 1, al polinomio se le llama mónico o normalizado.
Polinomios de varias variables
Como ejemplo, de polinomios de dos variables desarrollando los binomios:(2){\begin{cases}(x+y)^{2}=x^{2}+2xy+y^{2}\\(x+y)^{3}=x^{3}+3x^{2}y+3xy^{2}+y^{3}\\(x+y)^{4}=x^{4}+4x^{3}y+6x^{2}y^{2}+4xy^{3}+y^{4}\end{cases}}
Estos polinomios son mónicos, homogéneos, simétricos y sus coeficientes son coeficientes binomiales.
Para obtener la expansión de las potencias de una resta (véase productos notables), basta con tomar -y en lugar de y en el caso anterior. La expresión (2) queda de la siguiente forma:
(x-y)^{2}=x^{{2}}-2xy+y^{{2}}\,
Lospolinomios de varias variables, a diferencia de los de una variable, tienen en total más de una variable. Por ejemplo los monomios:
5xy,3xz^{2},4xy^{2}z,\dots
En detalle el último de ellos 4xy_{{}}^{2}z es un monomio de tres variables (ya que en él aparecen las tres letras x, y y z), el coeficiente es 4, y los exponentes son 1, 2 y 1 de x, y y z respectivamente.
Grado de un polinomio
Artículoprincipal: Grado (polinomio)
Se define el grado de un monomio como el mayor exponente de su variable. El grado de un polinomio es el del monomio de mayor grado.
Ejemplos
P(x) = 2, polinomio de grado cero (el polinomio solo consta del término independiente).
P(x) = 3x + 2, polinomio de grado uno.
P(x) = 3x² + 2x², polinomio de grado dos.
P(x) = 2x3+ 3x + 2, polinomio de grado tres....