POLINOMIOS

PROGRAMA DE
ESTUDIOS BÁSICOS

MATEMÁTICA BÁSICA
POLINOMIOS
2015-II
Mg. William Andrade T.

Polinomios
Un polinomio es una expresión de la forma
P  x   an xn  an1 xn1  an2 xn2  ...............  a2 x2  a1 x  a0

una sucesión de sumas de términos conformados por un
i
coeficiente ai multiplicado por un factor x
OBSERVACIONES

1. Podemos escribir
2. El coeficiente

an  0

P 

n

i
a
x i

i 0

se llama coeficiente principal

3. El mayor exponente de x , le da el grado a P  x , si an  0
y aunque alguno(s) –o todos- los coeficientes ai  an
sean nulos (polinomios incompletos)
n

n

4. Si x=1 entonces

P 1   ai

5. Si x=0 entonces

P  0  a0

6. Si an

i 0

es la suma de coeficientes.
es el termino independiente.

 1, el polinomio se llama MONICO.

7. Si P  a   0entonces

xa

es una raiz o un cero de P  x 

8. Si P  x   0 , se denomina ECUACION RACIONAL
ENTERA de grado n.
9. Toda ecuación racional entera, admite al menos una raíz
real o compleja.
10. Si P  x  es de grado n, entonces tiene exactamente n
raíces.

OPERACIONES CON POLINOMIOS
1. Suma :
La suma de polinomios, se efectúa operando solamente
entre términos de igual grado.
Ejemplo: Sean lospolinomios
P = x4 – 3 x2 + 6 x –1

y

Q = x3 – 5 x2 - 2 x + 3

P + Q = ( x4 – 3 x2 + 6 x –1 ) + ( x3 – 5 x2 - 2 x + 3 )
agrupamos los términos de igual grado de cada polinomio;

 P  Q  x   x 4  x3   3x 2  2 x 2    6 x  2 x    1  3
Y luego operamos los términos obtenidos

 P  Q x   x4  x3  5x2  4x  2

2. Multiplicacion :
Para multiplicar dos polinomios, se usa lapropiedad
distributiva (aplicando la regla de los signos) y luego se
resuelven cada uno de los términos que resulten. Luego
sumamos los términos de igual grado
Ejemplo 1: Sean los polinomios R  x   x4  3x2  6x y S  x   x

3

 2x  3

entonces
 R.S  x    x 4  3x 2  6 x  x3  2 x  3
 R.S   x  

x4

x

3

 R.S  x    x 4 .x3
  6 xx 3

 2 x  3   3 x 2  x 3  2 x 3   6 x  x 3  2 x  3 

  3x  x
  6 x  2 x   6 x  3

 2 x 4 .x  3 x 4  

2

3

 R.S   x    x 7  2 x 5  3x 4    3x 5  6 x 3  9 x 2    6 x 4
 R.S  x  = x7 - 2x5 + 3x4 - 3x5 + 6x3 - 9x2 + 6x4 - 12x2 + 18x

 R.S  x  = x7 - 5x5

+ 9x 4 + 6x3 - 21x 2 + 18x



  3x 2  2 x   3x 2  3 
 12 x 2  18 x 

Ejemplo 2: Dados P y Q determinar P.Q, 3P+Q,P2.Q, si:
a) P = x2 – 2

y

Q = - 3 x2 + 6

P  Q = ( x2 – 2 )  ( - 3 x2 + 6 ) =

x2  (- 3 x2) + x2  6 + (– 2 )  (-3x2)+ (-2)  6 =

P  Q = -3 x4 + 6 x2 + 6 x2 - 12 =

-3 x4 + 12 x2 - 12

grado 4

3P + Q = 3  ( x2 – 2 ) + ( - 3 x2 + 6 ) = 3 x2 – 6 - 3 x2 + 6 = 0
P2  Q = ( x2 – 2 )2  ( - 3 x2 + 6 ) =

( x4 - 4x2 + 4 )  ( - 3 x2 + 6 ) =

= -3x6 + 6x4 + 12x4 - 24x2 - 12x2 + 24 =

b)

P=x+2-3x6 + 18x4 - 36x2 + 24

grado 6

Q = x2 + 4 x +4

P  Q = ( x + 2 )  ( x2 + 4 x + 4 ) = x3 + 4 x2 + 4 x + 2 x2 + 8 x + 8 =

x3 + 6 x2 + 12 x + 8
grado 3
3P + Q = 3( x + 2 ) + ( x2 + 4 x + 4 ) = (3 x + 6) + (x2 + 4 x + 4) = x2 + 7 x + 10
grado 2
P2  Q = ( x + 2 )2  ( x2 + 4 x + 4 ) = ( x2 + 4 x + 4 )  ( x2 + 4 x + 4 ) =

= x4 + 4x3 + 4x2 + 4x3 + 16x2 + 16x + 4x2 + 16x + 16 =
P2  Q = x4 + 8x3 +24x2 + 32x + 16

grado 4

Ejemplo 3: Si el grado de P es 4 y el grado de Q es 3 ; ¿Qué puede decirse del grado
de los polinomios a) P · Q b) P3 c) P + Q ) P3 + Q4 ?
Solucion:
El grado de un producto de polinomios siempre va a estar dado por la
suma de los grados de los polinomios

a) P · Q

Si P es gr(4)
b) P3

y Q es gr(3) entonces P · Q es grado (7)
La potencia de un polinomio será otropolinomio cuyo grado es el
grado del polinomio base multiplicado por el exponente

Si P es gr(4) entonces P3 es grado
c) P + Q

El grado de la suma de dos polinomios será igual al grado del polinomio de
mayor grado ó eventualmente menos (si los términos de mayor grado se
anulan entre sí)

Si P es gr(4)
d) P3 + Q4

(4 · 3) = 12

y Q es gr(3) entonces

P + Q es grado (4) ó menor

Si P es gr(4), P3 es...