Problema

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  • Publicado : 13 de noviembre de 2011
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Dice: un circuito R-C tiene una fuerza electromotriz de 200cos2t voltios, una resistencia de 50 ohms y una capacitancia de 0.01 faradios. si consideramos que q(0)=0, halla la corriente en elcircuito en un tiempo t

Este tipo de circuito, se resuelve, aplicando por el Método de Ecuaciones Diferenciales Lineales

Datos:

C → 0.01 f
R → 50 Ω
Fem → 200 cos [2t]
I → ?

➋ Forma de laEcuación Lineal

: : : di : : : :q
R ━━ + ━━ = E(t)
: : : dt : : : :c

➌ Sustituimos Datos

: : : di : : : : :q
50 ━━ + ━━━ = 200 cos [2t]
: : : dt : : : : 0.01

: : : di
50 ━━ + 100 q =200 cos [2t]
: : : dt

➎ Simplificamos

di + 2q dt = 40 cos [2t] → EDL

i’ + P(t) dt = Q(t) → Forma de la Ecuación Diferencial Lineal

➏ Buscamos Factor Integrante

Fi = e^∫ P(t) dt

Fi= e^∫ (2) dt

Fi = e^(2t)

➐ Aplicamos la siguiente Formula e integramos

∫ d [ FI * q] = ∫ FI * Q(t) dt

e^(2t) * q = ∫ e^(2t) * 40 cos [2t] dt

➑ Resolvemos la integral, aplicando lasiguiente formula

: : : : : : : : : : : : : : : : e^(au) [a cos [bu] + b sen [bu] ] + C
∫ e^(au) cos [bu] du = ━━━━━━━━━━━━━━━━━
: : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : a² + b²

Donde:a = 2

u = t

b = 2

e^(2t) * q = ∫ e^(2t) * 40 cos [2t] dt

: : : : : : : : : : 40 e^(2t) [ 2 cos [2t] + 2 sen [ 2t] ] + C
e^(2t) * q = ━━━━━━━━━━━━━━━━━━
: : : : : : : : : : : : : : : :: : [2]² + [2]²

: : : : : : : : : : 40 e^(2t) [ 2 cos [2t] + 2 sen [ 2t] ] + C
e^(2t) * q = ━━━━━━━━━━━━━━━━━━
: : : : : : : : : : : : : : : : .: : : : 4 + 4

: : : : : : : : : e^(2t) [ 80 cos[2t] + 80 sen [ 2t] ] + C
e^(2t) * q = ━━━━━━━━━━━━━━━━━━
: : : : : : : : : : :: : : : : : : : : : : 8

e^(2t) * q = e^(2t) [ 10 cos [2t] + 10 sen [ 2t] ] + C

➒ Despejamos [q]

: : : e^(2t)[ 10 cos [2t] + 10 sen [ 2t] ] : : : : :C
q = ━━━━━━━━━━━━━━━━ + ━━━
: : : : : : : : : : : : : : : e^(2t) : : : : : : : : : : : : :e^(2t)

q = 10 cos [2t] + 10 sen [ 2t] ] + C e^(- 2t)

➓...
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