Proceso Estocastico

Proceso Estocástico.
Introducción.
En estadística, y específicamente en la teoría de la probabilidad, un proceso estocástico es un concepto matemático que sirve para caracterizar una sucesión de variables aleatorias (estocásticas) que evolucionan en función de otra variable, generalmente el tiempo. Cada una de las variables aleatorias del proceso tiene su propia función de distribución deprobabilidad y, entre ellas, pueden estar correlacionadas o no.
Cada variable o conjunto de variables sometidas a influencias o efectos aleatorios constituye un proceso estocástico.
Etimología: Se denomina estocástico (del latín stochasticus, que a su vez procede del griego στοχαστικός, "hábil en conjeturar")[1] al sistema cuyo comportamiento es intrínsecamente no determinístico. Un procesoestocástico es aquel cuyo comportamiento es no determinista, en la medida que el subsiguiente estado del sistema está determinado tanto por las acciones predecibles del proceso como por elementos aleatorios. No obstante, de acuerdo a M. Kac[2] y E. Nelson,[3] cualquier desarrollo temporal (sea determinístico o esencialmente probabilístico) que pueda ser analizable en términos de probabilidad merece serdenominado como un proceso estocástico.


1. Procesos estocásticos
Se denomina proceso estocástico1 a toda variable que evoluciona a lo largo del
tiempo de forma total o parcialmente aleatoria.
Un ejemplo, es la temperatura en Madrid, aumenta durante el día y baja durante la
noche; aumenta en el verano y desciende mucho en invierno (“nueve meses de invierno
y tres de infierno”, que se dicedel clima castellano); su variación es parcialmente
determinística y parcialmente aleatoria (figura 1). Otro ejemplo, es la variación
del precio de las acciones de Gamesa (figura 2), que evoluciona de forma aleatoria,
pero a largo plazo tiene una tasa de crecimiento esperada positiva, que compensa
a los inversores por el riesgo que corren al poseer el activo financiero.
Fig.1 Temperaturasmáximas y mínimas en Madrid desde Marzo-2007 hasta Febrero-2008 [Fuente:
NOAA, Climate Prediction Center]
Fig.2 Evolución del rendimiento diario de la acción de Gamesa durante el año 2007 [Elaboración propia]
1 La palabra estocástico se deriva del griego “stochazesthai”, que significa apuntar a un objetivo
(“stochos”)
Monografías de Juan Mascareñas sobre Finanzas Corporativas
ISSN: 1988-187827-Procesos estocásticos: Introducción
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Los procesos estocásticos pueden ser clasificados en:
- Tiempo discreto: Cuando el valor de la variable sólo puede cambiar en
una serie de momentos determinados del tiempo (por
ejemplo, los sorteos de la lotería tienen lugar en determinadas
fechas).
- Tiempo continuo: Cuando el valor de la variable puede cambiar en cualquier
momento del tiempo (latemperatura, por ejemplo).
Otra forma de clasificar a los procesos estocásticos es:
- Variable continua: La variable puede tomar cualquier valor comprendido
en un rango (la temperatura, por ejemplo)
- Variable discreta: La variable sólo puede tomar determinados valores o
estados discretos (los mercados financieros cotizan sus
activos con unos precios que oscilan: de céntimo de
euro en céntimo deeuro, o en 1/8 de punto, etc.).
Formalmente hablando, un proceso estocástico se define por una ley de probabilidad
que gobierna la evolución de una variable x (temperaturas, rendimientos, variación
de los tipos de interés etc.) a lo largo de un horizonte temporal t. De tal manera
que para diferentes momentos del tiempo t1 < t2 < t3... podemos obtener la
probabilidad de que los valorescorrespondientes x1, x2, x3... se sitúen dentro de
un rango específico como, por ejemplo:
Prob [a1 < x1 b1]
Prob [a2 < x2 b2]
Prob [a3 < x3 b3]
Cuando se llegue al momento t1 y observemos el valor correspondiente de x1, podemos
condicionar la probabilidad de futuros sucesos a la luz de esta información
(ver figura 3).
La temperatura en Madrid es un proceso estocástico estacionario, es decir,...