Programacion lineal

INTRODUCCION

La programación lineal es una técnica matemática relativamente reciente que consiste en una serie de métodos y procedimientos que permiten resolver problemas de optimización en el ámbito de recursos específicos o productos, sobre todo en características específicas de cálculos estadísticos.

Se centra en problemas simples de programación que tienen dos variables de estudio oproblemas bidimensionales para integrar más variables en el cálculo. Donde se utilizan diversidad de métodos de acuerdo a las necesidades o enfoque de análisis.

PROGRAMACIÓN LINEAL

1.- Orígenes de la Programación Lineal.

El problema de la resolución de un sistema lineal de inecuaciones se remonta, al menos, a Joseph Fourier, después de quien nace el método de eliminación de Fourier-Motín.La programación lineal se plantea como un modelo matemático desarrollado durante la Segunda Guerra Mundial para planificar los gastos y los retornos, a fin de reducir los costos al ejército y aumentar las pérdidas del enemigo. Se mantuvo en secreto hasta 1947. En la posguerra, muchas industrias lo usaron en su planificación diaria.

2.- Principales Precursores
Los fundadores de la técnica sonGeorge Danzig, quien publicó el algoritmo simplex, en 1947, John von Neumann, que desarrolló la teoría de la dualidad en el mismo año, y Leoni Kantoróvich, un matemático ruso, que utiliza técnicas similares en la economía antes de Dantzig y ganó el premio Nobel en economía en 1975. En 1979, otro matemático ruso, Leonid Khachiyan, diseñó el llamado Algoritmo del elipsoide, a través del cual demostróque el problema de la programación lineal es resoluble de manera eficiente, es decir, en tiempo polinomial.2 Más tarde, en 1984, Narendra Karmarkar introduce un nuevo método del punto interior para resolver problemas de programación lineal, lo que constituiría un enorme avance en los principios teóricos y prácticos en el área.
El ejemplo original de Dantzig de la búsqueda de la mejor asignaciónde 70 personas a 70 puestos de trabajo es un ejemplo de la utilidad de la programación lineal. La potencia de computación necesaria para examinar todas las permutaciones a fin de seleccionar la mejor asignación es inmensa (factorial de 70, 70!) ; el número de posibles configuraciones excede al número de partículas en el universo. Sin embargo, toma sólo un momento encontrar la solución óptimamediante el planteamiento del problema como una programación lineal y la aplicación del algoritmo simplex. La teoría de la programación lineal reduce drásticamente el número de posibles soluciones óptimas que deben ser revisadas.

3.- Metodologías de la Programación Lineal

Modelo general de programación lineal resumido en:
Sumatorias.
Definición de variables: sea xj = # ; j = 1, 2, 3, ... , nFunción objetivo: (Max./Min.) z = cjxj
... sujeta a:
aijxj = bi i = 1, 2, 3, ... , m
... condiciones de signo: xj 0
Con vectores.
(Max./Min.) z = Cx
... sujeto a: Ax = b
x 0
Propiedades que debe de seguir el modelo de programación lineal.
Proporcionalidad. En el modelo de programación lineal los pagos deben ser proporcionales.El modelo de programación lineal es estático, plantea una situación del momento.

x = progreso de la actividad

Aditividad. Siempre los pagos se suman.
Requerimientos.
Costos y
Utilidades.

Divisibilidad. Las variables involucradas en el modelo de programación lineal pueden no ser un número entero...
Si los valores son muy pequeños no importa el redondeo.
Si son muy altosafecta el redondeo.
Certidumbre. Todos los parámetros que se manejan deben ser pasados con certeza.
Métodos de solución del modelo de programación lineal.
El modelo de programación lineal se puede resolver tanto gráfica como analíticamente, pero para problemas de tamaño común que se encuentran como aplicaciones, la solución gráfica no es útil. En cambio, la solución analítica utilizando el...