Programacion lineal

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SOLUCIONES

EJERCICIOS PROGRAMACIÓN LINEAL

Ejercicio nº 1.-

a) Dibuja el recinto formado por los puntos que cumplen las siguientes condiciones:

[pic]

b) Indica si los puntos (0, 0), (2, 1) y (1, 2) forman parte de las soluciones del sistema anterior.

Solución:

[pic]

Tomamos un punto cualquiera; por ejemplo el (1, 0), para comprobar cuáles son lospuntos que cumplen las desigualdades propuestas.

El recinto buscado es:

[pic]

b) A la vista de la gráfica anterior, tenemos que (0, 0) y (2, 1) no son soluciones del sistema, pero (1, 2) sí lo es.

Ejercicio nº 2.-

Maximiza la función z = x + y, sujeta a las siguientes restricciones:

[pic]

Solución:

[pic]

y hallamos la región que cumplelas condiciones del problema, teniendo en cuenta que
x ≥ 0 e y ≥ 0.

• Representamos la dirección de las rectas z = x + y, dibujando la que pasa por el origen de coordenadas: x + y = 0

[pic]

[pic]

el máximo, que vale: z = 8 + 4 = 12

Ejercicio nº 3.-

En una granja de pollos se da una dieta "para engordar" con una composición mínima de 15 unidadesde una sustancia A y otras 15 de una sustancia B. En el mercado solo se encuentran dos clases de compuestos: el tipo I con una composición de una unidad de A y cinco de B, y el tipo II con una composición de cinco unidades de A y una de B. El precio del tipo I es de 10 euros y el del tipo II es de 30 euros. Se pregunta:
¿Qué cantidades se han de comprar de cada tipo para cubrir lasnecesidades con un coste mínimo?

Solución:

Llamamos x a las unidades que se compran de tipo I e y a las que se compran de tipo II.
Resumamos los datos en una tabla:

[pic]
Las restricciones son:

[pic]

La función que nos da el coste es z = 10x + 30y = 10(x + 3y).

Debemos hacer mínima esta función, sujeta a las restricciones anteriores.Dibujamos el recinto correspondiente a las restricciones, y la recta 10(x + 3y) = 0 →
x + 3y = 0, que nos da la dirección de las rectas z = 10(x + 3y).

[pic]

[pic]

Por tanto, hay que comprar 2,5 de tipo I y 2,5 de tipo II.

El precio en este caso será de z = 10(2,5 + 3⋅2,5) = 100 euros.

Ejercicio nº 4.-

Disponemos de 210 000 euros para invertir en bolsa. Nosrecomiendan dos tipos de acciones. Las del tipo A que rinden el 10% y las de tipo B que rinde el 8%. Decidimos invertir un máximo de 130 000 euros en las de tipo A y, como mínimo, 6 000 euros en las de tipo B. además, queremos que la inversión en las del tipo A sea menor o igual que el doble de la inversión en B.

¿Cuál tiene que ser la distribución de la inversión para obtenermáximo interés anual?

Solución:

Llamamos x al dinero que invertimos en acciones de tipo A e y al que invertimos en las de tipo B.

Resumimos los datos en una tabla:

[pic]

Las restricciones son:

[pic]

La función que nos da el rendimiento total es:

[pic]

Debemos maximizar esta función, sujeta a las restricciones anteriores.Dibujamos el recinto correspondiente a las restricciones (la unidad es 10 000)
[pic]
[pic]

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El máximo se alcanza en el punto (13, 8).

Por tanto, debemos invertir 130 000 euros en acciones del tipo A y 80 000 euros en las de tipo B. En este caso, el beneficio anual será de
[pic]

Ejercicio nº 5.-

a) Representa el recinto que cumple estas restricciones:[pic]

b) Da tres puntos que sean solución del sistema anterior.

Solución:

[pic]

Tomamos un punto cualquiera, por ejemplo el (0, 0), para comprobar cuáles son los puntos que cumplen las desigualdades propuestas.

El recinto buscado es:

[pic]

b) Por ejemplo: (1, 1), (2, 2) y (2, 0).

Ejercicio nº 6.-

Halla el mínimo de la función...
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