Programacion lineal
EJERCICIOS PROGRAMACIÓN LINEAL
Ejercicio nº 1.-
a) Dibuja el recinto formado por los puntos que cumplen las siguientes condiciones:
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b) Indica si los puntos (0, 0), (2, 1) y (1, 2) forman parte de las soluciones del sistema anterior.
Solución:
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Tomamos un punto cualquiera; por ejemplo el (1, 0), para comprobar cuáles son lospuntos que cumplen las desigualdades propuestas.
El recinto buscado es:
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b) A la vista de la gráfica anterior, tenemos que (0, 0) y (2, 1) no son soluciones del sistema, pero (1, 2) sí lo es.
Ejercicio nº 2.-
Maximiza la función z = x + y, sujeta a las siguientes restricciones:
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Solución:
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y hallamos la región que cumplelas condiciones del problema, teniendo en cuenta que
x ≥ 0 e y ≥ 0.
• Representamos la dirección de las rectas z = x + y, dibujando la que pasa por el origen de coordenadas: x + y = 0
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el máximo, que vale: z = 8 + 4 = 12
Ejercicio nº 3.-
En una granja de pollos se da una dieta "para engordar" con una composición mínima de 15 unidadesde una sustancia A y otras 15 de una sustancia B. En el mercado solo se encuentran dos clases de compuestos: el tipo I con una composición de una unidad de A y cinco de B, y el tipo II con una composición de cinco unidades de A y una de B. El precio del tipo I es de 10 euros y el del tipo II es de 30 euros. Se pregunta:
¿Qué cantidades se han de comprar de cada tipo para cubrir lasnecesidades con un coste mínimo?
Solución:
Llamamos x a las unidades que se compran de tipo I e y a las que se compran de tipo II.
Resumamos los datos en una tabla:
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Las restricciones son:
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La función que nos da el coste es z = 10x + 30y = 10(x + 3y).
Debemos hacer mínima esta función, sujeta a las restricciones anteriores.Dibujamos el recinto correspondiente a las restricciones, y la recta 10(x + 3y) = 0 →
x + 3y = 0, que nos da la dirección de las rectas z = 10(x + 3y).
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Por tanto, hay que comprar 2,5 de tipo I y 2,5 de tipo II.
El precio en este caso será de z = 10(2,5 + 3⋅2,5) = 100 euros.
Ejercicio nº 4.-
Disponemos de 210 000 euros para invertir en bolsa. Nosrecomiendan dos tipos de acciones. Las del tipo A que rinden el 10% y las de tipo B que rinde el 8%. Decidimos invertir un máximo de 130 000 euros en las de tipo A y, como mínimo, 6 000 euros en las de tipo B. además, queremos que la inversión en las del tipo A sea menor o igual que el doble de la inversión en B.
¿Cuál tiene que ser la distribución de la inversión para obtenermáximo interés anual?
Solución:
Llamamos x al dinero que invertimos en acciones de tipo A e y al que invertimos en las de tipo B.
Resumimos los datos en una tabla:
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Las restricciones son:
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La función que nos da el rendimiento total es:
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Debemos maximizar esta función, sujeta a las restricciones anteriores.Dibujamos el recinto correspondiente a las restricciones (la unidad es 10 000)
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El máximo se alcanza en el punto (13, 8).
Por tanto, debemos invertir 130 000 euros en acciones del tipo A y 80 000 euros en las de tipo B. En este caso, el beneficio anual será de
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Ejercicio nº 5.-
a) Representa el recinto que cumple estas restricciones:[pic]
b) Da tres puntos que sean solución del sistema anterior.
Solución:
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Tomamos un punto cualquiera, por ejemplo el (0, 0), para comprobar cuáles son los puntos que cumplen las desigualdades propuestas.
El recinto buscado es:
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b) Por ejemplo: (1, 1), (2, 2) y (2, 0).
Ejercicio nº 6.-
Halla el mínimo de la función...
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