Programacion lineal

La Programación Lineal es un procedimiento o algoritmo matemático mediante el cual se resuelve un problema indeterminado, formulado a través de ecuaciones lineales, optimizando la función objetivo, también lineal. Consiste en optimizar (minimizar o maximizar) una función lineal, denominada función objetivo, de tal forma que las variables de dicha función estén sujetas a una serie de restriccionesque expresamos mediante un sistema de inecuaciones lineales.
Aplicaciones La programación lineal constituye un importante campo de la optimización por varias razones, muchos problemas prácticos de la investigación de operaciones pueden plantearse como problemas de programación lineal. Algunos casos especiales de programación lineal, tales como los problemas de flujo de redes y problemas de flujode mercancías se consideraron en el desarrollo de las matemáticas lo suficientemente importantes como para generar por si mismos mucha investigación sobre algoritmos especializados en su solución. Una serie de algoritmos diseñados para resolver otros tipos de problemas de optimización constituyen casos particulares de la más amplia técnica de la programación lineal. Históricamente, las ideas deprogramación lineal han inspirado muchos de los conceptos centrales de la teoría de optimización tales como la dualidad, la descomposición y la importancia de la convexidad y sus generalizaciones. Del mismo modo, la programación lineal es muy usada en la microeconomía y la administración de empresas, ya sea para aumentar al máximo los ingresos o reducir al mínimo los costos de un sistema deproducción. Algunos ejemplos son la mezcla de alimentos, la gestión de inventarios, la cartera y la gestión de las finanzas, la asignación de recursos humanos y recursos de máquinas, la planificación de campañas de publicidad, etc.
Otros son:
* Optimización de la combinación de diámetros comerciales en una red ramificada de distribución de agua.
* Aprovechamiento óptimo de los recursos de unacuenca hidrográfica, para un año con afluencias caracterizadas por corresponder a una determinada frecuencia.
* Soporte para toma de decisión en tiempo real, para operación de un sistema de obras hidráulicas;
* Solución de problemas de transporte.
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PROPIEDADES DE LOS SISTEMAS

Sistemas Lineales Si un sistema es lineal,quiere decir que cuando la entrada de un sistema dado es escalado por un valor, la salida del sistema es escalado por la misma cantidad.
En la subfigura 1.1 de arriba, la entrada x del sistema lineal L da la salida y. Si x es escalada por un valor α y es pasada a través del mismo sistema, como en la subfigura 1.2, la salida también será escalada por α. Un sistema lineal también obedece elprincipio de superposición. Esto significa que si dos entradas son sumadas juntas y pasadas a través del sistema lineal, la salida será equivalente a la suma de las dos entradas evaluadas individualmente. Esto es, si figura 2 es cierta, entonces figure 3 también es cierta para un sistema lineal. La propiedad de escalado mencionada anteriormente también es válida para el principio de superposición. Por lotanto, si las entradas x y y son escaladas por factores α y β, respectivamente, entonces la suma de estas entradas escaladas dará la suma de las salidas escaladas individualmente.

Time-Invariant Systems Un sistema invariante en el tiempo TI (Time-Invariant) tiene la propiedad de que cierta entrada siempre dará la misma salida, sin consideración alguna a cuando la entrada fue aplicada alsistema.
Sistemas Lineales Invariantes en el Tiempo (LTI)A los sistemas que son lineales y al mismo tiempo invariantes en el tiempo nos referiremos a ellos como sistemas LTI (Linear Time-Invariant).
Como los sistemas LTI son subconjuntos de los sistemas lineales, estos obedecen al principio de superposición. En la figura de abajo, podemos ver el efecto de aplicar el tiempo invariante a la definición...