Progresiones aritmeticas

PROGRESIONES ARITMETICAS
DEF 1 . Se dice que una serie de números están en progresión aritmética cuando cada uno
de ellos (excepto el primero) es igual al anterior más una cantidad constante llamada
diferencia de la progresión.
EJEMPLO 1.- 1, 4, 7, 10 ..... Es una progresión cuya diferencia es 3.
30, 25, 20, 15... Es una progresión cuya diferencia es –5
RESULTADO 1.- Término n-ésimo de unaprogresion aritmetica
Si a1 , a2 , a3 ,... an-1 , an son los sucesivos términos de una progresión aritmética cuya
diferencia es “d”, se pueden escribir las siguientes igualdades:
a2 = a1 + d
a3 = a2 + d = a1 + 2d
a4 = a3 + d = a1 + 3d
a5 = a4 + d = a1 + 4d
...............................
................................
an = an-1 + d = a1 + (n-1)d
Es decir:
El término n-ésimo, tambiénllamado TÉRMINO GENERAL, de una progresión
aritmética se obtiene sumando al primer término la diferencia multiplicada por (n -1):

an

a1

n 1 d

RESULTADO 2.- Suma de términos equidistantes de los extremos
Dos términos ap y aq de una progresión aritmética son equidistantes de los extremos
cuando el número de términos que preceden a a p es igual al número de términos que siguen
a aq.En las progresiones aritméticas los términos equidistantes de los extremos verifican
la siguiente propiedad:
La suma de dos términos de una progresión aritmética, equidistantes de los
términos extremos, es igual a la suma de dichos extremos.

a1 an

a2 an

a3 an

1

a4 an

2

3

... 2a1 (n 1) d

RESULTADO 3.- Suma de “n” términos de una progresión aritmética
La suma de lostérminos de una progresión aritmética es igual a la semisuma de los
términos extremos multiplicada por el número de términos que se suman.

S

a1

a2

a3

...

an

a1

an
2

n

Siendo a1= Primer sumando; an= Último Sumando; n = nº de Sumandos

De otra forma:

S

a1

a2

a3

...

an

2a1

a1= Primer sumando; d = Diferencia

(n
2

1).d

n

EJERCICIOSRSUELTOS:
P1.- Halla el término cuadragésimo octavo de la progresión aritmética de diferencia 3
y primer término 11.
SOL: a48 = a1 +(48-1).d = 11 + 47.3 = 152
P2.- Los ángulos de un triángulo están en progresión aritmética, hállalos si el mayor
vale 100º.
SOL: Sean a , a+d y a+2d los tres ángulos. La suma de los tres es:
a + (a+d) +(a+2d) = 3a+3d = 180
(a+d)= 60 ;
Como el mayor es 100, 100 =a+2d
d= 40 y los angulos son : 100º, 60º y 20º.
P3.- Suma 200 + 201 + 202 + … + 299
SOL: Es la suma de 100 términos de una progresión aritmética de diferencia 1
Luego
200 299
S 200 201 201 ... 299
100 24950
2
PRACTICA:
P4.- Una progresión aritmética de 50 términos empieza por 9 y termina por 200.
Calcular su diferencia y la suma de sus términos.

P5.- Calcula la suma de los milprimeros números pares y de los mil primeros números
impares. ¿Cuál es mayor?.

P6.- Calcula el valor de 1+2+3+4+ ... + n

P7.- Calcuala el valor de la suma de los n primeros numeros Pares. Idem para los n
primeros números Impares

P8.- En una progresión aritmética, la suma de los 100 primeros términos es 100 y la suma
de los 100 siguientes, desde a101 hasta a200, es 200. ¿Cuál es ladiferencia de la
progresión?

P9.- La suma de 18 enteros positivos consecutivos es un cuadrado perfecto.¿Cual es el el
menor valor posible de la suma de ellos

P10.- En una progresion aritmetica a3.a7 = -12 y a4 +a6 = -4 . Hallar el termino general y la
suma de los 20 primeros terminos.

P11.- Los tres primeros términos de una progresion aritmetica son a, 4, 3a. Hallar el termino
general y lasuma de los 30 primeros términos. Si la suma de los n primeros términos es
2550, halla n.

P12.- En una progresion aitmetica la suam de los 10 primeros terminos es 140 y la suam de
los diez primeros terminos impares es 125. Cuanto vale a6?

P13.- an es una progresion aritmetica y bn =

1
2

an

. Si b1+b2+b3 = 21/8 y b1.b2.b3=1/8 ,

calcula a8

P14.- Los 4 primeros terminos de...