Progresiones aritmeticas

FPROP
Century Preceptores, A.C.
Century

[1.0.1 PROGRESIONES]
1.0.1 Progresiones aritméticas

Progresiones Aritm´ ticas
e

1

Progresiones Aritm´ ticas
e
Un tipo particular de sucesi´ n son la que se denominan progresiones; las m´ s conocidas son las aritm´ ticas
o
a
e
y las geom´ tricas, pero hay otras. Aqu´ estudiaremos las Progresiones Aritm´ ticas. Vamos la definici´ n.
eı
e
o

Definici´ n
o

Se dice que una serie de n´ meros est´ n en progresi´ n aritm´ tica cuando cada uno de los
u
a
o
e
ellos es igual al anterior m´ s una cantidad constante llamada raz´ n o diferencia de la progresi´ n.
a
o
o
As´, las siguientes dos sucesiones constituyen progresiones aritm´ ticas:
ı
e
3, 7, 11, 15,......
8, 2, -4, -10,.....
y la sucesi´ n que sigue no es unaprogresi´ n aritm´ tica:
o
o
e
1, 2, 4, 8,......
La diferencia d se obtiene restando cualquier t´ rmino de la progresi´ n del t´ rmino que le sigue. As´, en el
e
o
e
ı
primer ejemplo d = 4, esto porque; 7-3, o 11-7, o 15-11, son iguales a 4. En general la raz´ n o diferencia
o
se obtiene con la f´ rmula:
o

d = ak+1 − ak
Nota 1

Si vemos la progresi´ n aritm´ tica
o
e
a1 , a1+ d, a1 + 2d, a1 + 3d, a1 + 4d, ......

notamos que en cualquier t´ rmino el coeficiente de la diferencia d es siempre una unidad menor que el
e
n´ mero de orden del t´ rmino de la sucesi´ n. Veamos:
u
e
o
el 3er t´ rmino es a1 + 2d;
e
el 6to t´ rmino es a1 + 5d;
e
el 10mo t´ rmino es a1 + 9d;
e
el 25vo t´ rmino es a1 + 24d;
e
y en general;

an = a1 + (n − 1)d
Est´ ultima f´rmula se usa para hallar el t´ rmino n-´ simo que queramos.
a´
o
e
e

Progresiones Aritm´ ticas
e

Ejemplo 1

2

Demostrar que la sucesi´ n
o
1, 4, 7, 10, · · · , 3n − 2, · · ·

es una progresi´ n aritm´ tica encontrando la raz´ n o diferencia.
o
e
o
Soluci´ n:
o
Es obvio que la diferencia es 3. Veamos la demostraci´ n formal:
o
ak+1 − ak = [(3(k + 1) − 2] − [3k − 2])
ak+1− ak = 3k + 3 − 2 − 3k + 2 = 3
Ejemplo 2

Hallar el sexto, octavo y d´ cimoquinto t´ rmino de la sucesi´ n aritm´ tica cuyos tres primeros
e
e
o
e
t´ rminos son 4, 7, 10,...
e
Soluci´ n:
o
La diferencia comun es 3. Al buscar el sexto t´ rmino a6 , usamos la f´ rmula a6 = a1 + 5d,
e
o

a6 = 4 + 5 · 3 = 19
As´, a6 = 19.
ı
Calculando a mano y haciendo la lista de los t´ rminos de laprogresi´ n aritm´ tica, obtenemos: 4, 7, 10, 13,
e
o
e
16, 19, 22, 25, 28,...
Ahora el 8vo t´ rmino.
e
a8 = a1 + 7 · d = 4 + 7 · 3 = 25
y finalmente a15 ;
a15 = a1 + 14 · d = 4 + 14 · 3 = 46, as´
ı
a15 = 46.
Ejemplo 3

Si el cuarto t´ rmino de una progresi´ n aritm´ tica es 5 y el noveno t´ rmino es 20, obtener el
e
o
e
e
doceavo t´ rmino.
e
Soluci´ n:
o
Sustituimos n = 4 yn = 9 en la f´ rmula a4 = a1 + 3d y a9 = a1 + 8d.
o
Y como a4 = 5 y a9 = 20 obtenemos el siguiente sistemas 2x2.

5 = a1 + 3d
20 = a1 + 8d

Progresiones Aritm´ ticas
e

3

Este sistema tiene como soluci´ n unica d = 3 y a1 = −4, de aqu´ es f´ cil obtener a12 .
o ´
ı
a
a12 = a1 + 11 · d = −4 + 11 · 3 = 29.
Ejemplo 4

Hallar el 38vo t´ rmino de la progresi´ n aritm´ tica: 2 , 3 ,7 , ....
e
o
e
3 2 3

Soluci´ n:
o
Aqu´ a1 =
ı

2
3

yd=

a38 = a1 + 37 · d =

3
2

−
2
3

2
3

= 5 , luego
6

+ 37 ·

5
6

a38 = 31 1 .
2

Ejercicios

Parte I Hallar el,
1. 9no t´ rmino de la P.A.: 7, 10, 13,...
e

14. 19vo t´ rmino de la P.A. : 1 , 7 , ...
e
3 8

2. 12vo t´ rmino de la P.A.: 5, 10, 15,...
e

15. 27vo t´ rmino de la P.A.: 3 1 ,5 1 , ...
e
2
4

3. 48vo t´ rmino de la P.A.: 9, 12, 15,...
e

16. 36vo t´ rmino de la P.A.: 7 , 1 , ...
e
9 3

4. 63vo t´ rmino de la P.A.: 3, 10, 17,...
e
vo

t´ rmino de la P.A.: 11, 6, 1,...
e

vo

t´ rmino de la P.A.: 19, 12, 5,...
e

vo

t´ rmino de la P.A.: 3, -1, -5,...
e

5. 12
6. 28
7. 13

8. 54vo t´ rmino de la P.A.: 8, 0, -8,...
e
9. 31vo t´...