Pruebas de bondad

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Unidad # 5
PRUEBAS DE BONDAD DE AJUSTE.
5.1- PRUEBA X2:
Para determinar si la proporción P de “éxitos” en una muestra de tamaño n, obtenida de una poblaciónbinomial difiere significativamente de la proporción de la población p de éxitos, usamos el estadístico dado por (5) o (6). Este caso sencillo solo puedeocurrir dos eventos posibles A1 A2, a los cuales llamamos “éxito” y “fracaso” y tienen probabilidades de p y q= 1 –p, respectivamente.
Un valor maestralparticularmente de la variable aleatoria x=nP se denomina frecuencia observada para el evento A1, mientras que a np se le llama frecuencia esperada.
Una generalizaciónevidente es el caso donde ocurren k posibles eventos A1, A2,……Ak, cuyas probabilidades respectivas son p1,p2, …..pk. en tales casos tenemos una población multinomial.Si de esta población obtenemos una muestra de tamaño n, las frecuencias observadas para los eventos A1….Ak, se pueden describir como variables aleatorias X1…..Xk, (cuyos valores específicos x1,x2….xk, serian las frecuencias observadas para la muestra), mientras que las frecuencias esperadas estarían dadas por np1..npk,respectivamente. Los resultados se indican en la tabla 7-2.


La forma del resultado sugiere que una medida de la discrepancia entre la frecuencia esperada yla observación para el caso general con el estadístico:
X2=((x1-np1)^2)/np1+((X2-np2) ^2)/np2+⋯ ((Xk-npk) ^2)/npk=∑_(j=1)^k▒((Xj-npj) ^2)/npj
Donde lafrecuencia total (es decir, el tamaño de la muestra) es n, de manera que:
X1+X2+…+Xk=n
Una expresión equivalente a esta fórmula es:
X^2=∑_(j=1)^k▒Xj^2/npj-n
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