Revolucion mexicana

DEFINICIÓN DE LÍMITE
Sea una función definida en una vecindad del punto.

  | DEFINICIÓN  |
  | Se dice que, si para cada número positivo, por pequeño que este sea, es posible determinar un número positivo, tal que para todos los valores de, diferentes de, que satisfacen la desigualdad, se verificará la desigualdad.   |
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Luego, si y solo si para cada tal que si, entonces.
Enforma gráfica se tiene:
para cada | existe |
| |
 
tal que si  | entonces  |
| |
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  También él puede interpretarse de la forma siguiente: como la desigualdad se deduce que, entonces todos los puntos en la gráfica de la función con ecuación, que corresponden a los puntos que se localizan a una distancia no mayor que del punto, se encontrarán dentro de una franja de ancho,limitada por las rectas , como se muestra en la siguiente figura:

Puede decirse entonces que la definición de límite dada anteriormente, establece que los valores de la función se aproximan a un límite, conforme se aproxima a un número, sí el valor absoluto de la diferencia entre se puede hacer tan pequeña como se quiera tomando suficientemente cercana a "b", pero no igual a "b".
Daremos ahoraalgunos ejemplos en los que se utiliza la definición de límite:

EJEMPLO:
Probar que
SOLUCIÓN:
Debe probarse que dado tal que siempre que .
Vamos a establecer una relación entre.
Como o sea .
Entonces, para hacer menor que, es suficiente que , por lo que puede tomarse .
Luego, dado, existe tal que si entonces.

CONTINUIDAD DEFINICION

| DEFINICIÓN DE CONTINUIDAD  |
  |Se dice que una función f es continua en c si y solo si se cumplen las tres condiciones siguientes: 1.está definida, (o sea, c pertenece al dominio de f) 2.existe 3. |
|
La función f será discontinua en c si por lo menos una de las condiciones anteriores no se cumple.
EJEMPLO
Determinar si la función definida por es continua en
Primero por lo que f está definida en 2
Calculemos
(Deaquí existe)

Como entonces f es continua en

Note que f no está definida ni en , ni en por lo que f es discontinua en esos puntos.

 
EJEMPLO
Determine si la función definida por

es o no continua en

Se tiene que (es decir, 4 pertenece al dominio de )

Además

Pero por lo que es discontinua en .

La representación gráfica de la función es la siguiente:
 
 

LÍMITE DEFUNCIONES:

Introducción Conjunto de los números reales Está formado por el conjunto de los números enteros, racionales e irracionales, en adelante lo vamos a denotar por R ; gráficamente el conjunto de los números reales lo podemos representar por
Una recta en la que fijamos un origen y una unidad, que hace que a cada punto de la recta le corresponda un número real y a cada número real lecorresponda un punto de la recta. A esta recta la denominamos la recta real
Función: Es una relación entre los elementos de dos conjuntos, de forma que a determinados elementos del primer conjunto se asocian elementos del segundo conjunto de manera unívoca, es decir que a un elemento del primer conjunto no le podemos asociar más de un elemento del segundo conjunto. A un elemento cualquiera delprimer conjunto lo representamos con la letra x, que denominamos variable independiente y al único elemento que le corresponde en el segundo conjunto lo representamos por la letra y, a la que denominamos variable dependiente. A la relación la representamos por la letra f y escribimos y=f(x).
Dominio de definición de una función f : Es el conjunto de valores de x para los que la función f(x)existe. Lo representamos por Dom(f).
Recorrido o imagen de una función f : Es el conjunto de valores que toma la variable dependiente y. Lo representamos por Img(f).
Función real de variable real : Es aquella cuyo dominio y recorrido son subconjuntos del conjunto de los números reales. Las funciones reales de variable real se suelen representar en el plano, utilizando un sistema de referencia. En...