Series de fourier

FUNDAMENTO TEÓRICO. Serie de Fourier El análisis de Fourier es una herramienta matemática utilizada para analizar funciones periódicas a través de la descomposición de dicha función en una suma infinitesimal de funciones senoidales mucho más simples (como combinación de senos y cosenos con frecuencias enteras). El nombre se debe al matemático francés Jean-Baptiste Joseph Fourier que desarrolló lateoría cuando estudiaba la ecuación del calor. Fue el primero que estudió tales series sistemáticamente, y publicando sus resultados iniciales en 1807 y 1811. Esta área de investigación se llama algunas veces Análisis armónico. Es una aplicación usada en muchas ramas de la ingeniería, además de ser una herramienta sumamente útil en la teoría matemática abstracta. Áreas de aplicación incluyenanálisis vibratorio, acústica, óptica, procesamiento de imágenes y señales, y compresión de datos. En ingeniería, para el caso de los sistemas de telecomunicaciones, y a través del uso de los componentes espectrales de frecuencia de una señal dada, se puede optimizar el diseño de un sistema para la señal portadora del mismo. De acuerdo con los estudios de Fourier, es posible representar cualquierfunción f(t), periódica, a partir de una suma infinita de senos y cosenos, donde f(t) debe cumplir con las siguientes condiciones: f(t) solo puede tomar un solo valor en cada punto en el que es evaluada. la integral en un periodo de |f(t)| existe (no es infinita). f(t) tiene un número finito de discontinuidades en un periodo. f(t) tiene un número finito de máximos y mínimos en un periodo. La serietrigonométrica está definida por:

Las condiciones para que una función pueda ser desarrollada en series de Fourier y, por tanto, ser convergente, es que presente en el intervalo un número finito de máximos y mínimos o un número finito también de discontinuidades de una especie. La serie Trigonometrica tiene la siguiente representación compacta:

en donde: y

DESARROLLO Procedimiento: 1.-Aproximar la señal f(t) (periódica)

a) Usando 5 términos. b) Usando 15 términos. c) Usando 50 términos. 1.1 Calcular el error generado en cada aproximación 2.- Aproximar x(t) periódica mediante una serie de Fourier.

a) Usando 5 términos. b) Usando 50 términos. c) Usando 40 términos. 2.1 Calcular el error en cada caso.

Análisis: 1.- Para empezar tenemos que la función f(t) esta definida como:f (t ) 1 1 0t t 2

Para aproximar la función f(t) lo hacemos mediante el sen(t), mediante una serie de la forma: f (t ) C1Sen(t ) C2 Sen(2t ) .... Cn Sen(nt ) Donde:
b

f (t ) g r (t )dt Cr
a b

y g r (t )dt
2

gr

Sen(t )

a

Sustituyendo los valores en las formulas obtenemos:
2

1* Sen(rt )dt Cr
0 2

1* Sen(rt )dt

Sen 2 (t )dt
0

Cr

1 Cos (rt ) r 0 1 2
2 2

1 2Cos (rt ) r Cos (2t )
0

dt
0

2 r 2

1 1 1 1 1 Sen(2t ) 2 0
2

0 Si r es par Cr 4 Si r es impar r

Por lo tanto nos queda una serie como:
f (t ) 4 Sen(t ) 1 1 Sen(3t ) sen(5t ) ..... 3 5

Lo cual representa una suma de senos donde el periodo y la amplitud van disminuyendo.

Por lo cual en el programa en Matlab solo tenemos que lograr esa suma para cada valor de 4 un vector ymultiplicarlo finalmente por la constante . El cálculo del error se da mediante la formula:

1

b 2 f 2 (t )dt C12 K1 C2 K 2 C32 K 3 ...

b a a Por lo que el error en este caso es:
1 2 1 2 8
2 r n

16
2 r

n

1 2 1 r

1 2 1 r

2.- Para empezar tenemos que la función f(t) esta definida como: 4t T 1 t 0 T 2 f (t ) 4t T 1 0t T 2 Dado que la función es simétrica al eje x se puededeterminar a simple vista que el coeficiente a0 es 0 ya que es el promedio. Para el cálculo de los coeficientes an se tiene:

an

2 T

T /2

f (t )Cos (n 0t )
T /2

2 T

4t Cos (n 0t )dt T T /2

0

T /2

0

4t Cos (n 0t )dt T

Hacemos un cambio de variable con t
an an an 2 T 2 T 16 T2
0

T /2 T /2

4 Cos( n T 4 Cos( n T Cos (n
0 0

T /2 0

)( d )
0 T /2

4t...