Simulacion

MODELADO CON ECUACIONES DIFERENCIALES DE ORDEN SUPERIOR
5.1 Ecuaciones lineales: problemas de valor inicial 5.1.1 Sistemas de resorte y masa: movimiento libre no amortiguado 5.1.2 Sistemas de resorte y masa: movimiento amortiguado libre 5.1.3 Sistemas de resorte y masa: movimiento forzado 5.1.4 Sistemas an&logos 5.2 Ecuaciones lineales: problemas de valores en la Contera 5.3 Ecuaciones nolineales Ejercicios de repaso

Hemos visto que una sola ecuación diferencial puede servir como modelo matemático de distintos fenómenos. Por este motivo, en la sección 5.1 examinaremos con mayor detalle una aplicación, el movimiento de una masa unida a un resorte. Aparte de la terminología y las interpretaciones físicas de los cuatro términos de la ecuación lineal ay ” + by’ + cy = g(t), veremos quelos procedimientos matemáticos para manejar, por ejemplo, un circuito eléctrico en serie son idénticos a los que se emplean en un sistema vibratorio de resorte y masa. Las formas de esta ecuación diferencial de segundo orden surgen en el análisis de problemas en muchas y diversas áreas de la ciencia y la ingeniería. En la sección 5.1 sólo estudiaremos problemas devalor inicial. En la sección 5.2examinaremos aplicaciones descritas por problemas de valores en la frontera, además de algunos de los problemas que nos conducen a los conceptos de valores propios y funciones propias. La sección 5.3 se inicia con una descripción de las diferencias entre los resortes lineales y no lineales, y luego se demuestra cómo el péndulo simple y un alambre suspendido nos llevan a modelos no lineales.

195196

CAPíTULO

5 MODELADO CON ECUACIONES DIFERENCIALES DE ORDEN SUPERIOR

ECUACIONES LINEALES: PROBLEMAS DE VALOR INICIAL
n

Sistema lineal dinámico H Ley de Hooke n Segunda ley de Newton del movimiento w Sistema de resorte y masa w Movimiento libre no amortiguado W Movimiento armónico simple n Ecuación del movimiento w Amplitud n Ángulo de f2ue n Resorte desgastable w Movimiento libreamortiguado w Movimiento forzado w Términos transitorios y de estado estable W Resonancia pura W Circuitos en serie

En esta sección revisaremos varios sistemas dinhicos lineales (pág. 127) en donde cada modelo matemático es una ecuación diferencial de segundo orden con coeficientes constantes
‘2% + al - + soy = g(t). dt

d*y

dy

No olvidemos que la función g es la entrada (función deentrada o función forzada) del sistema. La salida o respuesta del sistema es una solución de la ecuación diferencial en un intervalo que contiene a co que satisface las condiciones iniciales prescritas y(h) = yo,
y’(to)
=y1.

5.1.1

Sistemas de resorte y masa: movimiento libre no amortiguado

Ley de Hooke Supongamos que, como en la figura 5.l(b), una masa m1 está unida a un
resorteflexible colgado de un soporte rígido. Cuando se reemplaza rn1 con una masa distinta m2, el estiramiento, elongación o alargamiento del resorte cambiará.

soporte rfgido

resorte sin estirar 8 Ib en reposo 0.4 FIGURA 5.1

64

Cc)

Según la ley de Hooke, el resorte mismo ejerce una fuerza de restitución, F, opuesta a la dirección del alargamiento y proporcional a la cantidad de alargamiento s.En concreto, F = Rs, donde k es una constante de proporcionalidad llamada constante del resorte. Aunque las masas con distintos pesos estiran un resorte en cantidades distintas, 6ste está caracterizado

Sección

5.1

Ecuaciones lineoles: problemas de valor inicial

197

esencialmente por su numero k; por ejemplo, si una masa que pesa 10 libras estira i pie un resorte, entonces 10 = k(i)implica que k = 20 lb/ft. Entonces, necesariamente, una masa cuyo peso sea de 8 libras estirará el resorte f de pie.

Segunda ley de Newton

Después de unir una masa M a un resorte, ésta lo estira una longitud s y llega a una posición de equilibrio, en la que su peso, W, está equilibrado por la fuerza de restauración AZS. Recuérdese que el peso se define por W = mg, donde la masa se expresa...