Sistemas de ecuaciones diferenciales

Unidad III

Sistemas De Ecuaciones
Diferenciales

Unidad III. Sistemas de ecuaciones diferenciales lineales con coeficientes constantes
Supóngase un sistema de ecuaciones diferenciales
dx1dt=a11x1+a12x2+…+a1nxn
dx2dt=a21x1+a22x2+…+a2nxn

…………… I

dxndt=an1x1+an2x2+…+annxn

donde los coeficientes “aij” son constantes. Además, “t” es el argumento;
x1(t), x2(t),…….., xn(t)
sonlas funciones desconocidas. El sistema (I) se llama –Sistema de ecuaciones diferenciales lineales con coeficientes constantes.
Busquemos una solución particular del sistema de la forma:
x1=∝1ekt, x2=∝2ekt,……., xn=∝nekt……………II
Es preciso determinar las constantes “∝1, ∝2,………, ∝n” y “k” de modo que las funciones “∝1ekt, ∝2ekt,……., ∝nekt” satisfagan el sistema de ecuaciones (I). Sustituyéndolasen el sistema (I)
∝1kekt=a11∝1ekt+a12∝2ekt+…a1n∝nekt
∝2kekt=a11∝1ekt+a12∝2ekt+…a1n∝nekt

∝nkekt=a11∝1ekt+a12∝2ekt+…a1n∝nekt

Simplifíquese por “kt”. Transponiendo todos los términos a un lado y reuniendo los coeficientes de “∝1, ∝2,………, ∝n”, se obtiene el sistema de ecuaciones:

(a11-k) ∝1 + a12 ∝2 + …….. + a1n ∝n=0
a21 ∝1 + ( a22-k)∝2 + …….. + a2n ∝n=0
…….III
an1 ∝1+ an2 ∝2 + …….. + (ann –k)∝n=0

Elíjase “∝1, ∝2,………, ∝n y k” tales que satisfaga el sistema (III).
Es un sistema de las ecuaciones algebraicas lineales respecto a “∝1, ∝2,………, ∝n”. El determinante del sistema (III):
a11-k a12…………a1n
∆K= a21 a22-k………a2n ............IV

an1 an2………..ann-k

Si “k” es tal que el determinante “∆” se diferencia de cero, el sistema(III) tiene sólo las soluciones triviales:
∝1= ∝2=……….. ∝n=0,
y por tanto, las fórmulas (II) dan solamente las soluciones triviales:
x1(t)= x1(t)= …………..x1(t)=0
Por consiguiente, se obtiene las soluciones no triviales (II) sólo para tales “k” que reducen el determinante (IV) a cero.
Así se llega a la ecuación de “n-ésimo” orden para determinar “k”:
a11-k a12…………a1n
a21a22-k………a2n =0……….V

an1 an2………..ann-k

Esta ecuación se llama ECUACIÓN CARACTERÍSTICA para el sistema (I), y sus raíces se llaman RAÍCES DE LA ECUACIÓN
Se presentan los casos:
I.- Las raíces de la ecuación característica son reales y deferentes-
“k1,k2,………….kn” las raíces de la ecuación característica. Se escribe el sistema (III) para cada raíz “ki” y sedeterminan los coeficientes.
∝1(i),∝2(i)……∝n(i)
se puede demostrar que uno de los coeficientes es arbitrario; puede ser igual a “1”. De este modo se obtiene:
para la raíz “k1”, la solución del sistema (I) es:
x1(1)=∝1(1)ek1t, x2(1)=∝2(1)ek1t,…………,xn(1)=∝n(1)ek1t;
para la raíz “k2”, la solución del sistema (I) es:
x1(2)=∝1(2)ek2t, x2(2)=∝2(2)ek2t,…………,xn(2)=∝n(2)ek2t;…………………………………………………………………..
para la raíz “kn”, la solución del sistema (I) es:
x1(n)=∝1(n)eknt, x2(n)=∝2(n)eknt…………xn(n)=∝n(n)eknt;

Mediante la sustitución directa en las ecuaciones convencemos de que el sistema de funciones:
x1=C1∝1(1)ek1t+ C2∝1(2)ek2t+…+ Cn∝1(n)eknt
x2=C1∝21ek1t+ C2∝22ek2t+…+ Cn∝2neknt
VI
...........................................................................................
xn=C1∝n(1)ek1t+ C2∝n(2)ek2t+…+ Cn∝n(n)ekntdonde “C1,C2,………,Cn son constantes arbitrarias, también es la solución del sistema de ecuaciones diferenciales (I). Esta es la solución general del sistema (I).
-Se puede demostrar que se puede hallar tales valores
de las constantes para los cuales la solución satisfaga
a las condiciones iniciales dadas.
II.- Las raíces de la ecuación característica son distintas, peroincluyen raíces complejas.
Supóngase que entre las raíces de la ecuación característica hay dos raíces complejas conjugadas:
k1=∝+iβ, k2=∝-iβ.
A estas raíces corresponden las soluciones:
xj(1)=∝j(1)e∝+iβt;j=1,2,………,n………….I'
xj(2)=∝j(2)e∝-iβt;j=1,2,………,n………….II'
Los coeficientes “∝j(1) y ∝j(2)” se determinan del sistema de...