Sociologia

Definiciones, demostraciones ¿por qué?, ¿cuándo?, ¿cómo?

CARMEN AZCÁRATE GIMÉNEZ Profesora Titular de Universidad del área de Didáctica de las Matemáticas

1

1. INTRODUCCIÓN
Son varias las razones que me han llevado a ocuparme del lugar de las definiciones y las demostraciones en la enseñanza de las Matemáticas. En primer lugar, mi experiencia como profesora de Matemáticas, tanto dealumnos de la franja 12-18 años, como a estudiantes de magisterio donde las preguntas «definiciones, demostraciones ¿por qué?, ¿cuándo?, ¿cómo?» han estado siempre presentes. Desde la época en que disfrutaba con mis explicaciones en la pizarra, tan claras, tan bien ordenadas... como el caso de la fórmula de cos (a + b) que ocupaba no sólo una inmensa pizarra sino también una hora completa de clase olas demostraciones de las propiedades conmutativa y, sobre todo, asociativa de la suma o el producto de toda suerte de entes matemáticos. El silencio de la clase y la actividad frenética de los alumnos que copiaban desesperadamente todo lo que yo escribía, creaban una falsa sensación de buen ambiente de trabajo, totalmente desmentido en el examen siguiente donde se evidenciaba que los alumnos nohabían comprendido nada de lo esencial de mis explicaciones. En segundo lugar, mi experiencia como profesora de Didáctica de las Matemáticas de estudiantes de magisterio y en cursos de formación inicial y permanente de profesores de Secundaria me ha llevado a profundizar en las nociones de definición y demostración. En particular, me ha interesado la idea de Chevallard (1985) de nocionesparamatemáticas, «nociones instrumento de la actividad matemática; “normalmente” no son objetos de estudio para el matemático». También sostiene que estas nociones suelen enseñarse «por mostración», son nociones «que deben “aprenderse” (o más bien: “conocerse”) pero que no “se enseñan”». Entre los ejemplos de nociones paramatemáticas, Chevallard cita la demostración (además de las nociones de parámetro yecuación); por mi parte creo que se puede añadir la noción de definición. También me han hecho reflexionar los escritos de Vinner (1991) y Dreyfus (1990). Saberse de memoria la definición de un concepto no garantiza en absoluto comprender su significado; en realidad, comprender quiere decir tener un esquema conceptual de forma que se asocien ciertos significados a la palabra que designa el concepto:imágenes, procedimientos, experiencias. Como dice Vinner: «Las definiciones crean un problema muy serio en el aprendizaje de las matemáticas. Representa, quizás más que cualquier otra cosa, el conflicto entre la estructura de las matemáticas –tal como la conciben los matemáticos profesionales– y los procesos cognitivos de la adquisición de conceptos.» (Vinner, 1991). Finalmente, mi experienciacomo investigadora en Didáctica de las Matemáticas me ha ofrecido una oportunidad muy especial: la de haber dirigido la tesis de doctorado de Cecilia Calvo (2001) que se ha ocupado del papel de las definiciones y las demostraciones en el aprendizaje de las matemáticas de estudiantes preuniversitarios; se puede decir que apenas hay bibliografía anterior sobre el tema de las definiciones. Dicha tesises la base de las reflexiones que se presentan en este artículo. Uno de los rasgos más notables que se aprecian en el paso de la matemática elemental a la avanzada radica en el cambio en la adjudicación de importancia y en la frecuencia de aparición de ciertos comportamientos matemáticos, fundamentalmente: la definición y la demostración. En este sentido recordaremos unas palabras de Tall (1991b)al referirse a dicha etapa de transición: El movimiento desde el pensamiento matemático elemental al avanzado involucra una significativa transición: aquella que va de descubrir a definir, de convencer a probar en una manera lógica basada en esas definiciones… Es la transición desde la coherencia de la Matemática elemental a la consecuencia de la Matemática avanzada, basada en entidades...